16.如圖△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△ACD,延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)是4$\sqrt{3}$-4.

分析 作CH⊥AE于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=75°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30°,則利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠E=45°,接著在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CH=$\frac{1}{2}$AC=4,AH=$\sqrt{3}$CH=4$\sqrt{3}$,所以DH=AD-AH=8-4$\sqrt{3}$,然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4,于是可得DE=EH-DH=4$\sqrt{3}$-4.

解答 解:作CH⊥AE于H,如圖,
∵AB=AC=6,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°.
∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B落在點(diǎn)C處,此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,
∴AD=AB=6,∠CAD=∠BAC=30°,
∵∠ACB=∠CAD+∠E,
∴∠E=75°-30°=45°.
在Rt△ACH中,∵∠CAH=30°,
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=4,AH=$\sqrt{3}$CH=4$\sqrt{3}$,
∴DH=AD-AH=8-4$\sqrt{3}$,
在Rt△CEH中,∵∠E=45°,
∴EH=CH=4,
∴DE=EH-DH=4-(8-4$\sqrt{3}$)=4$\sqrt{3}$-4.
故答案為$4\sqrt{3}-4$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,DE∥BC,BC=7,AE=4,求DE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.如圖1,點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA•OB=OP2,我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如圖2,已知∠MON=90°,點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn),以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),且∠APB=135°.求證:∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如圖3,C是函數(shù)y=$\frac{3}{x}$(x>0)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且滿足BC=2CA,請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,A、B(0,2)兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)P為x軸正半軸上任意一點(diǎn).點(diǎn)C在線段PB上,AC交x軸于點(diǎn)M,CD平分∠ACB交x軸于點(diǎn)D.
(1)如圖,若CB=CM,連BD.求證:BD=MD;
(2)在(1)的條件下,連接AD,若點(diǎn)N在線段AM上(不含A、M點(diǎn))運(yùn)動(dòng),且NE⊥PD于E,NF⊥AD于F.則在N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,NE+NF的值是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)證明求值;若變化,請(qǐng)求出變化范圍.
(3)若點(diǎn)C在線段PB(不含P、B兩點(diǎn))運(yùn)動(dòng),其余條件不變,OH∥CD分別交AC、PB于G,H,在C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,$\frac{AC-BH}{CG}$的值是否發(fā)生變化?若不變,證明并求值;若變化,請(qǐng)求出變化范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.根據(jù)所給材料完成第(2)、第(3)兩小題.
(1)基礎(chǔ)知識(shí):如圖a,正方形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)B在直線EF上,且AE⊥EF,CF⊥EF,顯然,我們可以證明△ABE≌△BCF.
(2)實(shí)踐運(yùn)用:如圖b,銳角△ABC的頂點(diǎn)C是直線l上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)過程中始終保持∠ACB=45°,A、B點(diǎn)在直線l上,現(xiàn)分別以A、B為直角頂點(diǎn),向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,分別過點(diǎn)E、F作直線l的垂線,垂足為M、N.請(qǐng)問在C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,線段EM+FN的值是否改變,說明你的理由.
(3)變化拓展:當(dāng)圖b中的AB=1,其他條件不變時(shí),隨著C點(diǎn)的變化,△ABC的面積也隨之變化.請(qǐng)直接寫出△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F.若AB=6,BC=$\sqrt{96}$,則DF的長(zhǎng)為      ( 。
A.2B.4C.$\sqrt{6}$D.$2\sqrt{3}$

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.如圖,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(2,8),交x軸于點(diǎn)A (6,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)Q (x,0)是線段OA上的一動(dòng)點(diǎn),過Q點(diǎn)作x軸的垂線,交拋物線于P點(diǎn),交直線BA于D點(diǎn),求PD與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出PD的最大值;
(3)x軸上是否存在一點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作x軸的垂線,交拋物線于P點(diǎn),交直線BA于D點(diǎn),使以PD為直徑的圓與y軸相切?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=$\frac{1}{4}$x2-bx+c與x軸交于點(diǎn)A(8,0)、B(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn),連接PB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,CD長(zhǎng)為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(并求出自變量t的取值范圍);
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AC,過點(diǎn)P作PH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,延長(zhǎng)PH交AC于點(diǎn)E,連接DE,射線DP關(guān)于DE對(duì)稱的射線DG交AC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)DG交拋物線于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)G為AC中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖菱形ABCD中,∠ADC=60°,M、N分別為線段AB,BC上兩點(diǎn),且BM=CN,且AN,CM所在直線相交于E.

(1)填空:∠AEC=∠BAD,AE,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)E+CE=DE;
(2)若M、N分別為線段AB,BC延長(zhǎng)線上兩點(diǎn),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?試畫圖并證明之.
(3)若菱形邊長(zhǎng)為3,M、N分別為線段AB,BC上兩點(diǎn)時(shí),連接BE,Q是BE的中點(diǎn),則AQ的取值范圍是$\frac{3}{2}$≤AQ≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

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