Question

如圖，⊙M的圓心M在x軸上，⊙M分別交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，弦CD∥x軸交⊙M于點(diǎn)D，已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2=4（x+3）的兩個(gè)根，

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求直線AD的解析式；

（3）點(diǎn)N是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MNB周長(zhǎng)的最小值，并在圖中畫出△MNB周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)N的位置．

Answer 1

（1） 點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2）；（2） 直線AD的解析式是；（3） .

【解析】

試題分析：（1）解方程求出兩個(gè)根，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)與圓的半徑，連接CM，在Rt△CMO中，利用勾股定理列式求出OC的長(zhǎng)度，即可寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE=2OM，然后得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AD的解析式；

（3）找出點(diǎn)M關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)B連接交AD于點(diǎn)N，連接MN，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，△MNB就是所要求作的周長(zhǎng)最小的三角形，設(shè)直線AD與y軸相交于點(diǎn)F，連接FM，先利用直線AD的解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出FM的長(zhǎng)度，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得到點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)C，再根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，也就是BN+MN，從而三角形的周長(zhǎng)不難求出．

試題解析：（1）方程x2=4（x+3）整理得，

x2-4x-12=0，

即（x+2）（x-6）=0，

∴x+2=0，x-6=0，

解得x=-2，或x=6，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：A（-2，0），B（6，0），

（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，0），⊙M的半徑是4，

連接CM，則OC==，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2）；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，

則CE=ED=CD，

∵CD∥x軸，

∴ME⊥x軸，

∴四邊形OMEC是矩形，

∴CE=OM=2，

∴CD=4，

點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，2），

設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，

∴

解得

，

∴直線AD的解析式是；

（3）如圖2，設(shè)直線AD與y軸的交點(diǎn)是F，

當(dāng)x=0時(shí)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（0，），

在Rt△OMF中，F(xiàn)M=，

，

∴點(diǎn)M關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C，

連接BC交直線AD于點(diǎn)N，連接MN，則△MNB就是所要求作的周長(zhǎng)最小的三角形，

此時(shí)，在△OBC中，BC=，

△MNB周長(zhǎng)=BN+CN+BM=BC+BM=

點(diǎn)N的位置如圖2所示．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．