Question

已知：如圖，BE是⊙O的直徑，CB與⊙O相切于點B，OC∥DE交⊙O于點D，CD的延長線與BE的延長線交于A點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥AC即可；由于BC且⊙O于B，根據(jù)切線的性質(zhì)知∠CBO=90°，所以可通過證△CBO≌△CDO來得到∠ODC=90°的結(jié)論；已知的等量條件有：OB=OD、OC=OC，還需證得∠COD=∠COB，由于OE=OD，得∠ODE=∠OED，由OC∥DE，得∠OED=∠COB，等量代換后即可得∠COD=∠COB，由此得證．
（2）由于DE∥OC，那么同位角∠ADE=∠OCA=∠OCB，因此只需在Rt△OCB中求得∠OCB的正切值即可，由切線長定理可知BC=CD=6，缺少的條件是⊙O的半徑長；易證得△ADO∽△ABC，易知AC、BC的值，由勾股定理可求得AB的長，進(jìn)而可根據(jù)相似三角形所得比例線段求得OD的長，即可得OB的值，由此得解．

解答：解：（1）證明：連接OD．（1分）
∵CB是⊙O的切線，
∴∠CBO=90°，
∵ED∥OC，
∴∠DEO=∠COB，∠EDO=∠DOC；
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠COB；
∵OC=OC，OD=OB，
∴△CDO≌△CBO；
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴AC是⊙O的切線．（2分）

（2）∵AC，BC是⊙O的切線，
∴CD=CB=6，∠DCO=∠OCB；（3分）
∵∠ABC=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8；
∵ED∥OC，
∴∠ADE=∠DCO，
∴∠ADE=∠OCB；
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC，
∴

AD

OD

=

AB

BC

，
∴OD=3；（4分）
∴tan∠ADE=tan∠OCB=

1

2

．（5分）

點評：此題主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義等知識，難度適中．