Question

【題目】問題背景

在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以圖形的平移與旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活動,如圖（1），先將一張等邊三角形紙片對折后剪開，得到兩個(gè)互相重合的△ABD和△EFD，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，然后將△EFD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在邊AB上，如圖（2），連接EC.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）判斷四邊形BFEC的形狀，并說明理由；

實(shí)踐探究

（2）聰聰提出疑問：若等邊三角形的邊長為8，能否將圖（2)中的△EFD沿BC所在的直線平移a個(gè)單位長度（規(guī)定沿射線BC方向?yàn)檎�），得�?/span>△，連接，，使得得到的四邊形為菱形，請你幫聰聰解決這個(gè)問題，若能，請求出a的值；若不能，請說明理由。

（3）老師提出問題：請參照聰聰?shù)乃悸罚�若等邊三角形的邊長為8，將圖（2）中的△EFD在平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到△，畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)論，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BFEC為平行四邊形，理由見解析；（2）能， 或；（3）作圖見解析，結(jié)論為：四邊形為矩形．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得△BFD為等邊三角形，從而求得EF∥BC且EF=BC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷；

（2）分三角形沿射線BC和射線CB方向平移兩種情況，結(jié)合菱形的性質(zhì)及勾股定理求得CG的長度，從而求解；

（3）在（1）問的基礎(chǔ)上，利用平移及等邊三角形的性質(zhì)構(gòu)造矩形作圖，從而求解．

（1）四邊形BFEC為平行四邊形．

理由如下：∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABD=60°，AB=BC

由題意，知FD=BD

∴△BFD為等邊三角形

∴∠FDB=60°

∵∠EFD=60°

∴EF∥BC

∵EF=AB=BC

∴四邊形BEFC為平行四邊形．

（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=DC=4

∴AD=4

當(dāng)△DEF沿射線BC方向平移時(shí)，過點(diǎn)作G垂直BC交BC的延長線于點(diǎn)G

∵∥BC，=30°

∴=30°

在Rt△中，=4

∴=2

∴=6

∵四邊形為菱形

∴=8

在Rt△中，由勾股定理得CG=

∴DG=DC+CG=4+2

∴=DG-=2-2

當(dāng)△EDF沿射線CB方向平移時(shí)，同理可得=2+2，即a=-2-2

∴a=-2-2或2-2

（3）將圖（2）中的△EFD在平面內(nèi)沿CB方向平移2個(gè)單位長度，得到△

此時(shí)

∴四邊形為矩形