Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2 的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：由題意可知，OM=2 ，點(diǎn)N在直線y=﹣x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON= OM= ×2 = ．
如答圖①所示，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0 ， 動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn ， 連接B0Bn
∵AO⊥AB0 ， AN⊥ABn ， ∴∠OAC=∠B0ABn ，
又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°（此處也可用30°角的Rt△三邊長(zhǎng)的關(guān)系來(lái)求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，
∴B0Bn=ONtan30°= × =2 ．
現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．
如答圖②所示，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi ， 連接AP，ABi ， B0Bi
∵AO⊥AB0 ， AP⊥ABi ， ∴∠OAP=∠B0ABi ，
又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn ，
∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．
綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B0Bn ， 其長(zhǎng)度為 ．
所以答案是： ．