Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣ ，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

（1）求線段BC的長度；
（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；
（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求直線BD的解析式；
（4）在x軸上是否存在P，使以O(shè)、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由x2﹣2x﹣3=0得：

∴x1=3，x2=﹣1

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4．

（2）

解：結(jié)論：AC⊥AB．理由如下：

∵A（ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，

∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB

（3）

解：如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．

∴∠DEA=∠AOC=90°，

∵tan∠ACO= = ，

∵∠DCB=60°

∵DB=DC，

∴△DBC是等邊三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA=AC，

∵∠DAE=∠OAC，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE=OC=1，AE=OA=

∴ ，

∴D的坐標(biāo)為（ ，1）．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則有 解得 ，

∴直線BD的解析式為y= x+3

（4）

解：存在．如圖2中，延長BD交x軸于P1．

由（3）可知，△DBC是等邊三角形，

∴∠P1BO=60°，

∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠CAB=90°，

∴∠P1BC=∠ACB=60°，∵∠P1OB=∠CAB=90°，

∴△P1BO∽△BCA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OP1=3 ，

∴P1（﹣3 ，0），

當(dāng)P2與A重合時，△BOP2∽△BAC，此時P2（﹣ ，0），

再根據(jù)對稱性可得P3（ ，0），P4（3 ，0）也符合條件．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3 ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）或（3 ，0）

【解析】（1）列方程即可求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)解決問題．（2）由tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解決問題．（3）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA= ，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（4）存在．如圖2中，延長BD交x軸于P1 ． 可以證明P1滿足條件，當(dāng)P2與A重合時也滿足條件，再根據(jù)對稱性寫出P3、P4坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小，以及對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解，了解一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．