Question

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6,0）、B（-2,0）和點(diǎn)C（0，-8）

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求K的坐標(biāo)；

（3）連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按O-A-C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按O-C-A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S；

①請(qǐng)問(wèn)P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

② 請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

 

 

 

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣x﹣8；

（2）點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，0）；

(3) ①不存在PQ∥OC，理由見(jiàn)解析；

②分情況討論如下，

當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=12t2；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=﹣+；

當(dāng)2＜t＜ 時(shí)，S=-.

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法即可得到；

由于CM的長(zhǎng)度是定值，因此要想△KCM的周長(zhǎng)最小，只需KM+KC的值最小即可，因此要找到點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)C‘，連接MC’，則MC‘與X軸的交點(diǎn)即為所求；

①可假設(shè)PQ∥OC，此時(shí)，1＜t ＜2，則可得△APQ∽△AOC，由相似推得t=與1＜t ＜2矛盾，從而確定不存在PQ∥OC

②分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t＜ 三種情況進(jìn)行求解.

試題解析：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），

∵圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣8），

∴a=.

∴二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣x﹣8；

（2）∵y = x2﹣ x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣）.

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣8），

∴點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，8）.

∴直線C′M的解析式為：y=﹣ x+8

令y=0

得﹣x+8=0

解得：x=

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，0）；

(3) ①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點(diǎn)P，Q分別在線段OA，CA上，

此時(shí)，1＜t ＜2

∵PQ∥OC，

∴△APQ∽△AOC

∴

∵AP=6﹣3t

AQ=18﹣8t，

∴

∴t=

∵t=＞2不滿足1＜t＜2；

∴不存在PQ∥OC；

②分情況討論如下，

當(dāng)0≤t≤1時(shí)

S=OP•OQ=×3t×8t=12t2；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)

作QE⊥OA，垂足為E，

S=OP•EQ=×3t×=﹣+

當(dāng)2＜t＜ 時(shí)

作OF⊥AC，垂足為F，則OF=

S=QP•OF=×（24﹣11t）×=-.

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、反證法；3、線段的性質(zhì)；4、分類討論.