Question

【題目】如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG．（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE＝DG；（2）如圖3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求點(diǎn)G到BE的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)G到BE的距離為．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)得到AB=AD，AE=AG，然后依據(jù)SAS可證明△ABE≌△ADG，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）連接GE、BG，延長(zhǎng)AD交GE與H．當(dāng)α=45°時(shí)，可證明△AHE為等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的長(zhǎng)，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面積法可求得點(diǎn)G到BE的距離．

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)可知：AB=AD，AE=AG.

∵在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADG.

∴BE=DG.

(2)連接GE、BG，延長(zhǎng)AD交GE與H.

當(dāng)時(shí),則

∵

∴

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE.

又∵AH⊥AB,

∴△AHE為等腰直角三角形,

∴

∴EG=2EH=8.

∴

設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h.

即 ,解得

∴點(diǎn)G到BE的距離為