Question

【題目】如圖（1），拋物線與x軸交于A（1，0）、B（t，0）（t >0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），若拋物線的對稱軸為直線x=1，

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2 若點(diǎn)D是拋物線BC段上的動點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線BC的距離為，求點(diǎn)D的坐標(biāo)

（3）如圖（2），若直線y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)P是直線AE下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AE于點(diǎn)M，點(diǎn)N在線段AM延長線上，且PM=PN，是否存在點(diǎn)P，使△PMN的周長有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PMN的周長的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x22x3；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），△PMN的周長的最大值為.

【解析】

(1)先根據(jù)對稱軸和已知點(diǎn)A得出該點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再設(shè)出拋物線的表達(dá)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)再代入便可求得拋物線的解析式.

(2)設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形BCD的面積即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo).

先根據(jù)A、E點(diǎn)求出直線y=mx+n,根據(jù)直線可知OA=OE,則∠OAE=∠OEA=45°,又根據(jù)MP∥EC,可知∠PMN=∠CEM=∠OEA=45°,又PM=PN,故△PMN是個等腰直角三角形，面積是（）PM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，-k-1），則，則當(dāng)時，PM的長有最大值. 此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），△PMN的周長的最大值為

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

則點(diǎn)A（1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x3）（x+1），

將點(diǎn)C（0，3）代入上式得3a=-3，

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x3）（x+1）=x22x3；

（2）∵點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3），

則BC=3，

∴S△BCD===3，

設(shè)D（x，x22x3），連接OD，

∴S△BCD=S△OCD+S△BODS△BOC

=3x+3（x2+2x+3）×3×3

==3

解得x=1或x=2

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）

（3）設(shè)直線AE解析式為，將點(diǎn)A（1，0）、E（0，1）代入，得

解得：

則直線AE解析式為

∵OA=OE=1，則∠OAE=∠OEA=45°，

又∵PM∥y軸，

∴∠PMN=∠CEN=∠AEO=45°

∵PM=PN

∴∠PMN=∠PNM =45°

∴

∴

設(shè)M（k，k1），P（k，）

∴PM==

∴當(dāng)k=時，PM的長有最大值為

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），△PMN的周長的最大值為