Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò).

（1）求的值.

（2）點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，(點(diǎn)在下方)，過(guò)作 軸，與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).求 的最大值.

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn) ,使和 相似？若存在，求出 點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）m=1，n=3；（2）4；（3）N或N.

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式中的m和n的值；

（2）求出一次函數(shù)解析式，聯(lián)系點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義表示線段MN的長(zhǎng)，根據(jù)所列關(guān)系式求最大值；

（3）分兩種情況討論，當(dāng) 時(shí)，得到，計(jì)算OQ和NQ的值，得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，得到∽，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo).

試題解析：【解析】
（1） 拋物線 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，

∴，解得：，

所以m的值為1，n的值為3，此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式為.

(2)把點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B（4，0）代入y=kx+b，得：

，解得： ，

∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為 .

，

∵0≤x≤4，∴ 當(dāng)時(shí)，取得最大值為4.

(3)存在.

①當(dāng) 時(shí)，（如圖1）

可證： ，，

∴，

∴ ，

∵OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵ON·AB=OA·OB，

∴ON=，

∴NQ=，OQ= ，

∴N ；

②當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，（如圖2）

，

∴∽，此時(shí).

∴滿足條件的N或N.

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法求解析式；2、圖形與坐標(biāo)；3、相似三角形的判定和性質(zhì).