Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，3)，拋物線G：y=x2－2x+c(c為常數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)N．

(1)若拋物線G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求出其解析式，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

(2)若點(diǎn)B(x1，y1)和點(diǎn)C(x1+3，y2)在拋物線G上，試比較y1，y2的大�。�

(3)連接OM，若45°≤∠MON≤60°，請(qǐng)直接寫出c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）（2）當(dāng)x＞-時(shí)，y2＞y1；當(dāng)x=-時(shí)，y2=y1；當(dāng)x＜-時(shí)，y2＜y1；（3）2≤c≤1+或1-≤c≤0

【解析】

（1）把點(diǎn)A代入拋物線解析式求出c的值 ，得到拋物線的解析式進(jìn)行配方即可得到M的坐標(biāo)；

（2）先確定拋物線的對(duì)稱軸，再將點(diǎn)B與點(diǎn)C分三種位置關(guān)系討論求解即可；

（3）分別求出∠MON=45°時(shí)和∠MON=60°時(shí)c的值，即可求出45°≤∠MON≤60°時(shí)，c的取值范圍．

把A（2，3）代入拋物線得4-4+c=3，

解得c=3，

∴y=x2-2x+3=(x-1)2+2

∴M(1,2)；

（2）∵y=x2-2x+c，

∴對(duì)稱軸為：x=1，

∴當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，

①當(dāng)B、C都在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，x1+3≤1即x1≤-2時(shí)，y1＞y2；

②當(dāng)B、C都在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，x1≥1時(shí)，y1＜y2；

③當(dāng)B在對(duì)稱軸左側(cè)、C在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，x1＜1且x1+3＞1，

∴-2＜x1＜1

點(diǎn)B關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)為(2-x1，y1)

當(dāng)2-x1＜x1+3時(shí)，x1＞-，y1＜y2，

當(dāng)2-x1＞x1+3時(shí)，x1＜-，y1＞y2，

當(dāng)2-x1=x1+3時(shí)，x1=-，y1=y2，

綜上所述，

當(dāng)x＞-時(shí)，y2＞y1；當(dāng)x=-時(shí)，y2=y1；當(dāng)x＜-時(shí)，y2＜y1；

（3）∵y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1,c-1）,

∵對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，

∴N(1,0)

∴ON=1,

當(dāng)∠MON=45°時(shí)，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=1,

∴c=2或c=0;

當(dāng)∠MON=60°時(shí)，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=,

∴c=+1或c=1-,

∴當(dāng)45°≤∠MON≤60°時(shí)，2≤c≤1+或1-≤c≤0.