如圖13,14,已知四邊形ABCD為正方形,在射線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P,作PE⊥AD(或延長(zhǎng)線)于E,作PF⊥DC(或延長(zhǎng)線)于F,作射線BP交EF于G.
(1)在圖13中,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, 四邊形ABFE的面積為y, AP=,求y關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.
(2)結(jié)論GB⊥EF對(duì)圖13,圖14都是成立的,請(qǐng)任選一圖形給出證明;
(3)請(qǐng)根據(jù)圖14證明:△FGC∽△PFB.
圖13 圖14
解:(1)∵EPAD,PFDC,∴四邊形EPFD是矩形,
∵AP=,
∴AE=EP=DF=,
,
∴
(2)在圖13中證明GB⊥EF.
①證法一:延長(zhǎng)FP交AB于H,
∵PF⊥DC,PE⊥AD,∴PF⊥PE,PH⊥HB,
即∠BHP=90°
∴在Rt△FPE與Rt△BHP中
因 ABCD是正方形,
∴易知PF=FC=HB,EP=PH
∴Rt△FPE≌Rt△BHP
∴∠PFE=∠PBH,
又∠FPG=∠BPH,
∴△FPG∽ △BPH,
∴∠FGP=∠BHP=90°,即GB⊥EF
分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要證∠3=∠4,
而∠2 =∠3, ,只要證∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.
證法二: 如答案圖13-2,連接PD,延長(zhǎng)FP交AB于H,
延長(zhǎng)EP交BC于M,
易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,
∴△DPC≌△BPC
∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,
∴∠1=∠2,
而∠1=∠4, ∠2 =∠3,
∴∠3=∠4,
而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,
∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,
即GB⊥EF.
注:在圖14中證法與上面類似.
(3)證法一:
∵GB⊥EF,∴…①…
連接PD,在△DPC和△BPC中
∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,
∴ △DPC≌△BPC,∴PD=PB.
而PD=EF, ∴EF=PB.
又∵GB⊥EF,∴
∴
而PF=FC, ∴
∴………②
∴由①②得△FGC∽△PFB.
證法二:
∵GB⊥EF,∴………①
又∵
取BF的中點(diǎn)M,則有:
∴B,C,G,F四點(diǎn)在以M為圓心,MB為半徑的圓上.
∴………②
∴由①②得△FGC∽△PFB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,將三角形CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在OA上,則的值為( 。
| A. | B. | C. | D. |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某高校學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)同學(xué)們就餐時(shí)剩余飯菜較多,浪費(fèi)嚴(yán)重,于是準(zhǔn)備在校內(nèi)倡導(dǎo)“光盤行動(dòng)”,讓同學(xué)們珍惜糧食,為了讓同學(xué)們理解這次活動(dòng)的重要性,校學(xué)生會(huì)在某天午餐后,隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)這餐飯菜的剩余情況,并將結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如題22-1圖和題22-2圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖。
(1) 這次被調(diào)查的同學(xué)共有 名;
(2) 把條形統(tǒng)計(jì)圖(題22-1圖)補(bǔ)充完整;
(3) 校學(xué)生會(huì)通過數(shù)據(jù)分析,估計(jì)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供200人用一餐。據(jù)此估算,該校18 000名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供多少人食用一餐?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
2014年5月12日,國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布了《2013年農(nóng)民工監(jiān)測(cè)調(diào)查報(bào)告》,報(bào)告顯示:我國(guó)農(nóng)民工收入持續(xù)快速增長(zhǎng).某地區(qū)農(nóng)民工人均月收入增長(zhǎng)率如圖7所示,并將人均月收入繪制成如圖8所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖.
圖7 圖8
根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)2013年農(nóng)民工人均月收入的增長(zhǎng)率是多少?
(2)2011年農(nóng)民工人均月收入是多少?
(3)小明看了統(tǒng)計(jì)圖后說(shuō):“農(nóng)民工2012年的人均月收入比2011年的少了.”你認(rèn)為小明的說(shuō)法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,l∥m,等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上,∠1= 20°,則∠2的度數(shù)為( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
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