Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α=0°時(shí)，= ；②當(dāng)α=180°時(shí)，= ．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

【答案】(1) ；；（2）沒有變化；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可．

（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時(shí)；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．

試題解析：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴,BD=8÷2=4，

∴．

②如圖1，

，

當(dāng)α=180°時(shí)，

可得AB∥DE，

∵，

∴

（2）如圖2，

，

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如圖3，

，

∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴BD=AC=．

②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，

，

∵AC=，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE==2，

∴AE=AD-DE=8-2=6，

由（2），可得

，

∴BD=．

綜上所述，BD的長為或．