Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+ 與直線AB交于點A（﹣1，0），B（4， ），點D是拋物線A、B兩點間部分上的一個動點（不與點A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD．

（1）求拋物線的表達式；
（2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由題意得 解得： ，

∴y=﹣ x2+2x+

（2）

解：設直線AB為：y=kx+b．則 ，解得

直線AB的解析式為y= x + ．

如圖所示：記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F．

設D（m，﹣ m2+2m+ ）則C（m， m+ ）．

∵CD=（﹣ m2+2m+ ）﹣（ m+ ）= m2+ m+2，

∴S= AEDC+ CDBF= CD（AE+BF）= DC= m2+ m+5．

∴S= m2+ m+5．

∵﹣ ＜0，

∴當m= 時，S有最大值．

∴當m= 時， m+ = × + = ．

∴點C（ ， ）

【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）設直線AB為：y=kx+b．將A、B的坐標代入可得到k，b的方程組，從而可求得k，b于是得到直線AB的解析式，記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F．設D（m，﹣ m2+2m+ ）則C（m， m+ ），依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關系式，接下來由拋物線的對稱軸方程，可求得m的值，于是可得到點C的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．