Question

【題目】如圖（1），拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線(xiàn)OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線(xiàn)平移，保持頂點(diǎn)在直線(xiàn)OD上.若平移的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；

（3）如圖（2），將拋物線(xiàn)平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)Q（0，3）作不平行于x軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E，F(xiàn)兩點(diǎn).問(wèn)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+4x+3；（2） h=4或≤h<；（3）y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0,-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上.

【解析】

（1）將A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用平移規(guī)律確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)求得h的值或取值范圍即可；

（3）將拋物線(xiàn)平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x2，設(shè)MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），過(guò)P作GH∥x軸，分別過(guò)M，N作GH的垂線(xiàn)，垂足為G，H．根據(jù)△PMN的內(nèi)心在y軸上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，從而△GMP∽△HNP，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可列出有關(guān)t的方程求解即可．

（1）拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)

∴9a-3b+3=0且a-b+3=0

解得a=1，b=4

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+4x+3

（2）由（1）配方得y=（x+2）2-1

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M（-2，-1）

∴直線(xiàn)OM的解析式為y=x

于是設(shè)平移的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），

∴平移的拋物線(xiàn)解析式為y=（x-h）2+h，．

①當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，

∵C（0，9），

∴h2+h=9，

解得h=．

∴當(dāng)≤h＜時(shí)，平移的拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)．

②當(dāng)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

由方程組y=（x-h）2+h，y=-2x+9．

得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，

∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=4．

此時(shí)拋物線(xiàn)y=（x-4）2+2與線(xiàn)段CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），符合題意．

綜上：平移的拋物線(xiàn)與線(xiàn)段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或≤h＜．

（3）將拋物線(xiàn)平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x2，

設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）．

假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），過(guò)P作GH∥x軸，分別過(guò)E，F(xiàn)作GH的垂線(xiàn)，垂足為G，H．

∵△PEF的內(nèi)心在y軸上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴，

∴

∴2kxExF=（t-3）（xE+xF）

由y=x2，y=kx+3．得x2-kx-3=0．

∴xE+xF=k，xExF=-3．

∴2k（-3）=（t-3）k，

∵k≠0，

∴t=-3．

∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上．