Question

情境觀察
將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A'C'D，如圖（l）所示，將△A'C'D的頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖（2）所示，觀察圖（2）可知：與BC相等的線段是______，∠CAC'=______°。

問(wèn)題探究
如圖（3），在△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

拓展延伸
如圖（4），在△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解：情境觀察
AD（或A′D），90；
問(wèn)題探究結(jié)論：
EP=FQ，
證明：∵△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵EP⊥AG，
∴∠AGB=∠EPA=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EAP，
∴AG=EP，
同理AG=FQ，
∴EP=FQ，
拓展延伸
結(jié)論：HE=HF，
理由：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q，
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴，
同理△ACG∽△FAQ，
∴，
∵AB=kAE，AC=kAF，
∴=k，
∴，
∴EP=FQ，
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH，
∴HE=HF。