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如圖所示,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B
(1)求拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)D在拋物線上,且以O(shè),C,D,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)在拋物線上求一點(diǎn)P,使△ABP是以AB為直角邊的直角三角形.

【答案】分析:(1)已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),設(shè)拋物線頂點(diǎn)式,把點(diǎn)O(0,0)代入即可求解析式;
(2)依題意得CD∥OB,CD=OB=4,又對稱軸x=2,故D點(diǎn)橫坐標(biāo)x=6,代入拋物線解析式可求D點(diǎn)縱坐標(biāo),根據(jù)對稱軸可求滿足條件的點(diǎn)D′;
(3)當(dāng)∠A為直角頂點(diǎn)時(shí),設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),利用直角三角形三邊關(guān)系得出a,b的值,再利用當(dāng)∠B為直角頂點(diǎn)時(shí),求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+1,
將點(diǎn)B(4,0)的坐標(biāo)代入得:

所以二次函數(shù)的解析式為;

(2)如圖1,當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CD=OB,
由0=-(x-2)2+1得x1=0,x2=4,
∴B(4,0),OB=4.
由于對稱軸x=2
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6.
將x=6代入y=-(x-2)2+1,得y=-3,
∴D(6,-3);
根據(jù)拋物線的對稱性可知,
在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-3),
當(dāng)四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)
綜上所述:D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,1),(-2,-3)或(6,-3);

(3)如圖2,當(dāng)∠A為直角頂點(diǎn)時(shí),設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),

解得
所以P(-6,-15).
同理可得當(dāng)∠B為直角頂點(diǎn)時(shí),P(-8,-24).
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)解析式的求法,利用拋物線的性質(zhì)尋找平行四邊形等問題,需要根據(jù)拋物線的對稱性,形數(shù)結(jié)合,解答問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G,使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn),C為拋物線的頂點(diǎn),過點(diǎn)A作AP∥精英家教網(wǎng)BC交拋物線于點(diǎn)P.
(1)求A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E,使A,M,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似?若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(-2,0),則2a-3b
 
0.(>、<或=)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),拋物線的對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)E.
(1)求交點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)連接CB交拋物線對稱軸于點(diǎn)D,在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1:7的兩部分?若存在,請求出點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•衡陽)如圖所示,已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D在拋物線上,且AD平行x軸,交y軸于點(diǎn)F,AB的中點(diǎn)E在x軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)P(a,b)在拋物線上運(yùn)動.(點(diǎn)P異于點(diǎn)O)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過點(diǎn)P作CB所在直線的垂線,垂足為點(diǎn)R,
①求證:PF=PR;
②是否存在點(diǎn)P,使得△PFR為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
③延長PF交拋物線于另一點(diǎn)Q,過Q作BC所在直線的垂線,垂足為S,試判斷△RSF的形狀.

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同步練習(xí)冊答案
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