Question

如圖所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)，C，D，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上求一點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，把點(diǎn)O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依題意得CD∥OB，CD=OB=4，又對(duì)稱軸x=2，故D點(diǎn)橫坐標(biāo)x=6，代入拋物線解析式可求D點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱軸可求滿足條件的點(diǎn)D′；
（3）當(dāng)∠A為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），利用直角三角形三邊關(guān)系得出a，b的值，再利用當(dāng)∠B為直角頂點(diǎn)時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+1，
將點(diǎn)B（4，0）的坐標(biāo)代入得：
．
所以二次函數(shù)的解析式為；

（2）如圖1，當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時(shí)，CD=OB，
由0=-（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于對(duì)稱軸x=2
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．
將x=6代入y=-（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，
在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3），
當(dāng)四邊形OCBD是平行四邊形時(shí)，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）
綜上所述：D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，1），（-2，-3）或（6，-3）；

（3）如圖2，當(dāng)∠A為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），
則
解得
所以P（-6，-15）．
同理可得當(dāng)∠B為直角頂點(diǎn)時(shí)，P（-8，-24）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，利用拋物線的性質(zhì)尋找平行四邊形等問(wèn)題，需要根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，形數(shù)結(jié)合，解答問(wèn)題．