Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B兩點（A在B左邊），交y軸于C點，且OC=3OA，對稱軸x=1交拋物線于D點．

（1）求拋物線解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上找點E使S_△BCD=S_△BCE，求E點的坐標；

（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點M，過M作MN⊥x軸于N點，使△BMN與△BCD相似？若存在，請求出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）將x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，則點A的坐標為（﹣1，0），由點B與點A關于x=1對稱可知B（3，0），將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式，從而可求得a=﹣1，b=2；

（2）過D點作DE∥BC交拋物線y=﹣x²+2x+3于E點，由△BCD與△BCE是同底等高的三角形可知S_△BCD=S_△BCE，設直線DE的解析式為y=﹣x+b，將點D的坐標代入可求得直線DE的解析式，然后與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點E的坐標；

（3）由兩點間的而距離公式可知：BC=3，CD=，設M（x，y），則MN=y=﹣x²+2x+3，BN=3﹣x，然后根據(jù)相似三角形的性質列出關于x的方程，從而可求得點M的坐標．

【解答】解：（1）∵將x=0代入得y=3，

∴C（0，3）．

∵OC=3OA，

∴OA=1．

∴A（﹣1，0）．

∵點B與點A關于x=1對稱，

∴B（3，0）．

將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：，

解得：．

∴拋物線解析式為y=﹣x²+2x+3．

（2）∵將x=1代入拋物線的解析式得：y=﹣1+2+3=4，

∴D（1，4）．

如圖1，過D點作DE∥BC交拋物線y=﹣x²+2x+3于E點．

設直線DE的解析式為y=﹣x+b，

將點D的坐標代入得：﹣1+b=4，解得：b=5，則直線DE的解析式為y=﹣x+5．

將y=﹣x+5與y=﹣x²+2x+3聯(lián)立得：，

解得：（舍去），．

∴E（2，3）．

（3）存在．

由兩點間的而距離公式可知：BC=3，CD==．

設M（x，y），則MN=y=﹣x²+2x+3，BN=3﹣x．

①如圖2所示：

∵當△BMN∽△DBC時，，

∴．

解得：x₁=2，x₂=3（舍去）．

∵當x=2時，y=3，

∴M（2，3）．

②如圖3所示：

 

∵當△BMN∽△BDC時，，

∴．

解得：x₁=﹣，x2=3（舍去）．

當x=﹣時，y=，

∴M（﹣，）

綜上，存在點M（2，3）或（﹣，），使△BMN與△BCD相似．

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點、相似三角形的性質和判定等知識點，依據(jù)相似三角形的性質列出關于x的方程是解題的關鍵．