【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于,兩點(點在點的左側(cè)),頂點為.直線交軸于點,交拋物線于點.
求拋物線的表達(dá)式及點的坐標(biāo);
點是拋物線上的動點,若以,,,為頂點的四邊形僅有一組對邊平行,求點的坐標(biāo);
連接,點在直線上,設(shè)點到直線的距離為,點到點的距離為,求的最小值.
【答案】(1)點的坐標(biāo)為;(2)點坐標(biāo)為,,;(3)12.
【解析】
(1)設(shè)拋物線頂點式解析式y=ax2+1,然后把點P的坐標(biāo)代入進(jìn)行計算即可得解;求出拋物線與x軸的交點A、B,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線DB的解析式,令x=0求出y的值即可得到點D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)四邊形僅有一組對邊平行,分①AP∥BE,求出直線AP的解析式,再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點E的坐標(biāo);②AB∥PE,根據(jù)拋物線的對稱性可得點E與點P關(guān)于y軸對稱;③BP∥AE,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點E的坐標(biāo);
(3)過點P作PM⊥x軸于點M,PN⊥y軸于點N,根據(jù)點A、B、P的坐標(biāo)可以求出∠APM=60°,∠BPM=30°,∠APN=30°,然后求出PA是∠BPN的平分線,過點F作FH⊥PN于點H,連接DF、DH,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FH=m,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點D、F、H三點共線時,m+n的值最小,此時,點F為直線AP與y軸的交點,m+n=PN,然后求解即可.
∵拋物線頂點為,
∴設(shè)拋物線的解析式是,
又∵點在拋物線上,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
令,則,
解得,,
∴點,點,
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
∴直線的解析式為,
令,則,
所以,點的坐標(biāo)為;
①時,設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
解得,(為點的坐標(biāo)),
所以點的坐標(biāo)為;
②時,∵拋物線關(guān)于軸對稱,
∴點為點關(guān)于軸的對稱點,
∴點;
③時,∵直線的解析式為,
∴設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
∴直線的解析式為,
解,得,(為點坐標(biāo)),
所以,點坐標(biāo)為,
綜上所述,點坐標(biāo)為,,;
如圖,過點作軸于點,軸于點,
∵,,,
∴,
,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
點在直線上,過點作于點,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,
連接、,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,,
即,
所以,當(dāng)點、、三點共線時,的最小值,
此時,點為直線與軸的交點,點、重合,
最小值.
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【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上一點(不與點B,C重合),以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)求證:△CAE≌△BAD;
(2)探究:當(dāng)點D在BC邊上移動時,α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)如圖2,若∠BAC=90°,CE與BA的延長線交于點F.求證:EF=DC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,、、在同一條直線上,連接.
(1)請找出圖2中的全等三角形,并說明理由(說明:結(jié)論中不得含有圖中未標(biāo)識的字母);
(2)與垂直嗎?為什么?
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【題目】(7分)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中點,E是邊AD上的動點,EG的延長線與BC的延長線交于點F,連接CE,DF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是矩形;
②當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是菱形;(直接寫出答案,不需要說明理由)
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+x+2與直線y=x+2相交于點C和D,點P是拋物線在第一象限內(nèi)的點,它的橫坐標(biāo)為m,過點P作PE⊥x軸,交CD于點F.
(1)求點C和D的坐標(biāo);
(2)求拋物線與x軸的交點坐標(biāo);
(3)如果以P、C、O、F為頂點的四邊形是平行四邊形,求m的值.
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【題目】下列命題中,真命題的是( )
A.兩邊和一角對應(yīng)相等,兩三角形全等
B.兩腰對應(yīng)相等的兩等腰三角形全等
C.兩角和一邊對應(yīng)相等,兩三角形全等
D.兩銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形全等
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【題目】如圖一,在平面直角坐標(biāo)系中,是軸正半軸上一點,是第四象限一點,軸,交軸負(fù)半軸于,且(a-2)+|b+3|=0,四邊形AOBC=12.
(1)求點坐標(biāo)
(2)如圖二,設(shè)為線段上一動點(點不與點重合),求證:∠ADB+∠DBC-∠OAD=180°
(3)如圖三,當(dāng)點在線段上運動(點不與點重合),點在線段上運動(點不與點重合)時,連接、作∠OAD、∠DEB的平分線交于點,請你探索∠AFE與∠ADE之間的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】(1)如果兩個三角形兩邊和其中一邊所對的角相等,則兩個三角形全等,這是一個假命題,請畫圖舉例說明;
(2)如圖,在△ABC和△DEF中,AB=ED,BC=DF,∠BAC=∠DEF=120°,求證:△ABC≌△EDF.
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