13.有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù):
第一個數(shù)是$\frac{1}{1×2}$;
第二個數(shù)是$\frac{1}{2×3}$;
第三個數(shù)是$\frac{1}{3×4}$;

(1)經過探究,我們發(fā)現(xiàn):$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,設這列數(shù)的第5個數(shù)為a,那么a>$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$,a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$,a<$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$,哪個正確?請你直接寫出正確的結論:
(2)計算:$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$;
(3)設M=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{201{7}^{2}}$,求證:$\frac{504}{1009}$<M<$\frac{2016}{2017}$.

分析 (1)根據(jù)題意可以判斷哪個結論正確;
(2)根據(jù)題意可以計算出所求式子的結果;
(3)根據(jù)題意可以利用前面的結論證明結論成立.

解答 解:(1)由題意可得,
第5個數(shù)為a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$正確;
(2)$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$;
(3)證明:∵$\frac{1}{2×3}<\frac{1}{{2}^{2}}<\frac{1}{1×2}$,
$\frac{1}{3×4}<\frac{1}{{3}^{2}}<\frac{1}{2×3}$,

$\frac{1}{2017×2018}<\frac{1}{201{7}^{2}}<\frac{1}{2017×2016}$,
∴$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2017×2018}<M<$$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{2016×2017}$,
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}<M<$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$,
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{2018}<M<1-\frac{1}{2017}$,
∴$\frac{504}{1009}<M<\frac{2016}{2017}$.

點評 本題考查分式的混合運算、數(shù)字的變化類,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.

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