Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0）．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S．
①求S的最大值；
②在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí)，請直接寫出此時(shí)S的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+8；

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）

（2）

解：①連結(jié)OF，如圖，

設(shè)F（t，﹣ t2+t+8），

∵S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD= 4t+ 8（﹣ t2+t+8）﹣ 48

=﹣t2+6t+16

=﹣（t﹣3）2+25，

當(dāng)t=3時(shí)，△CDF的面積有最大值，最大值為25，

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴S的最大值為50；

②∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴CD∥EF，CD=EF，

∵點(diǎn)C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點(diǎn)D，

∴點(diǎn)F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點(diǎn)E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），

∵E（t﹣8，﹣ t2+t+12）在拋物線上，

∴﹣ （t﹣8）2+t﹣8+8=﹣ t2+t+12，解得t=7，

當(dāng)t=7時(shí)，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，

∴此時(shí)S=2S△CDF=18．

【解析】（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣ x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式；然后計(jì)算函數(shù)值為0時(shí)對應(yīng)的自變量的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)（2）①連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，﹣ t2+t+8），利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF ， 利用三角形面積公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到△CDF的面積有最大值，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S的最大值； ②由于四邊形CDEF為平行四邊形，則CD∥EF，CD=EF，利用C點(diǎn)和D的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點(diǎn)D，則點(diǎn)F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點(diǎn)E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣ t2+t+12）代入拋物線解析式得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t后計(jì)算△CDF的面積，從而得到S的值．本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律．