Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3．其中正確結論的個數(shù)是（　�。�

A．1       B．2       C．3       D．4

Answer 1

C【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE﹣S_△FEC，求得面積比較即可．

【解答】解：①正確．

理由：

∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；

②正確．

理由：

EF=DE=CD=2，設BG=FG=x，則CG=6﹣x．

在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）²+4²=（x+2）²，

解得x=3．

∴BG=3=6﹣3=GC；

③正確．

理由：

∵CG=BG，BG=GF，

∴CG=GF，

∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；

∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，

∴AG∥CF；

④錯誤．

理由：

∵S_△GCE=GC•CE=×3×4=6

∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，

∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，

∴S_△GFC=×6=≠3．

故④不正確．

∴正確的個數(shù)有3個．

故選：C．

【點評】本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．