Question

已知 a，b，c 為^△ABC 的三邊，且滿足 a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，試判定^△ABC 的形狀．

Answer 1

【考點】勾股定理的逆定理．

【專題】證明題．

【分析】首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷^△ABC  的形狀．

【解答】解：^∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，

^∴a⁴﹣b⁴﹣a²c²+b²c²=0，^∴（a⁴﹣b⁴）﹣（a²c²﹣b²c²）=0，

^∴（a²+b²）（a²﹣b²）﹣c²（a²﹣b²）=0，

^∴（a²+b²﹣c²）（a²﹣b²）=0

得：a²+b²=c² 或 a=b，或者 a²+b²=c² 且 a=b，

即^△ABC 為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【點評】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，還涉及到了分解因式、等腰三角形的有關(guān)知識．