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(2003•鎮(zhèn)江)保健醫(yī)藥器械廠要生產(chǎn)一批高質(zhì)量醫(yī)用口罩,要求在8天之內(nèi)(含8天)生產(chǎn)甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只,其中甲型口罩不得少于1.8萬只.該廠生產(chǎn)能力是:每天只能生產(chǎn)一種口罩,如果生產(chǎn)甲型口罩,每天能生產(chǎn)0.6萬只;如果生產(chǎn)乙型口罩,每天能生產(chǎn)0.8萬只,已知生產(chǎn)一只甲型口罩可獲利0.5元,生產(chǎn)一只乙型口罩可獲利0.3元.設(shè)該廠在這次任務(wù)中生產(chǎn)了甲型口罩x萬只,問:
①該廠生產(chǎn)甲型口罩可獲利潤多少萬元?生產(chǎn)乙型口罩可獲利多少萬元?
②該廠這次生產(chǎn)口罩的總利潤是y萬元,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并給出自變量x的取值范圍;
③如果你是該廠廠長,在完成任務(wù)的前提下,你怎樣安排生產(chǎn)甲型和乙型口罩的只數(shù),使獲得的總利潤最大,最大利潤是多少?如果要求在最短時間內(nèi)完成任務(wù),你又怎樣安排生產(chǎn)甲型和乙型口罩的只數(shù)?最短時間是多少?
【答案】分析:本題的關(guān)鍵是找出總利潤與生產(chǎn)的甲型口罩的只數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,那么根據(jù)總利潤=生產(chǎn)甲型口罩的利潤+生產(chǎn)乙型口罩的利潤,然后再根據(jù)“生產(chǎn)甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只,其中甲型口罩不得少于1.8萬只”來判斷出x的取值范圍,然后根據(jù)此函數(shù)的特點以及題目給出的條件來計算出利潤最大和時間最短的方案.
解答:解:①0.5x,0.3×(5-x);

②y=0.5x+0.3×(5-x)=0.2x+1.5,
首先,1.8≤x≤5,但由于生產(chǎn)能力限制,不可能在8天之內(nèi)全部生產(chǎn)A型口罩,
假設(shè)最多用t天生產(chǎn)甲型,則(8-t)天生產(chǎn)乙型,依題意得:0.6t+0.8×(8-t)=5,
解得t=7,故x的最大值只能是0.6×7=4.2,
所以x的取值范圍是1.8≤x≤4.2;

③要使y取得最大值,由于y=0.2x+1.5是一次函數(shù),且y隨x增大而增大,
故當(dāng)x取最大值4.2時,y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34(萬元),
即安排生產(chǎn)甲型4.2萬只,乙型0.8萬只,使獲得的總利潤最大,最大利潤為2.34萬元,
如果要在最短時間內(nèi)完成任務(wù),全部生產(chǎn)乙型所用時間最短,
但要生產(chǎn)甲型1.8萬只,
因此,除了生產(chǎn)甲型1.8萬只外,其余的3.2萬只應(yīng)全部改為生產(chǎn)乙型,
所需最短時間為1.8÷0.6+3.2÷0.8=7(天).
點評:解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中,要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求k的值及拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(A在B的左邊),拋物線的頂點為P,試求出A、B、P三點的坐標(biāo),并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線;
(3)求經(jīng)過P、A、B三點的圓的圓心O‘的坐標(biāo);
(4)設(shè)點G(0,m)是y軸的一個動點.
①當(dāng)點G運(yùn)動到何處時,直線BG是⊙O‘的切線并求出此時直線BG的解析式;
②若直線BG與⊙O‘相交,且另一交點為D,當(dāng)m滿足什么條件時,點D在x軸的下方.

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(2003•鎮(zhèn)江)已知反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于(2,1).
(1)分別求這兩個函數(shù)的解析式;
(2)試判斷點P(-1,5)關(guān)于x軸的對稱點Q是否在一次函數(shù)的圖象上.

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(1)求k的值及拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(A在B的左邊),拋物線的頂點為P,試求出A、B、P三點的坐標(biāo),并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線;
(3)求經(jīng)過P、A、B三點的圓的圓心O‘的坐標(biāo);
(4)設(shè)點G(0,m)是y軸的一個動點.
①當(dāng)點G運(yùn)動到何處時,直線BG是⊙O‘的切線并求出此時直線BG的解析式;
②若直線BG與⊙O‘相交,且另一交點為D,當(dāng)m滿足什么條件時,點D在x軸的下方.

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(1)分別求這兩個函數(shù)的解析式;
(2)試判斷點P(-1,5)關(guān)于x軸的對稱點Q是否在一次函數(shù)的圖象上.

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