Question

【題目】如圖（1），為等腰三角形，，點是底邊上的一個動點，，.

（1）用表示四邊形的周長為　　；

（2）點運(yùn)動到什么位置時，四邊形是菱形，請說明理由；

（3）如果不是等腰三角形圖（2），其他條件不變，點運(yùn)動到什么位置時，四邊形是菱形（不必說明理由）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)為中點時，四邊形是菱形，見解析；（3）P運(yùn)動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形,理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，進(jìn)而可得DB=DP，PE=EC，從而可得四邊形ADPE的周長=AD+DP+PE+AE=AB+AC；

（2）當(dāng)P運(yùn)動到BC中點時，四邊形ADPE是菱形；首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再證明DP=PE即可得到四邊形ADPE是菱形；

（3）P運(yùn)動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，從而可證出∠2=∠3，進(jìn)而可得AE=EP，然后可得四邊形ADPE是菱形．

(1)∵PD∥AC,PE∥AB，

∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，

∴DB=DP，PE=EC，

∴四邊形ADPE的周長是：AD+DP+PE+AE=AB+AC=2a；

(2)當(dāng)P運(yùn)動到BC中點時，四邊形ADPE是菱形；

∵PD∥AC,PE∥AB，

∴四邊形ADPE是平行四邊形，

∴PD=AE，PE=AD，

∵PD∥AC,PE∥AB，

∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，

∵P是BC中點，

∴PB=PC，

在△DBP和△EPC中，

，

∴△DBP≌△EPC(ASA)，

∴DP=EC，

∵EC=PE，

∴DP=EP，

∴四邊形ADPE是菱形；

(3)P運(yùn)動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，

∵PD∥AC,PE∥AB,

∴四邊形ADPE是平行四邊形，

∵AP平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵AB∥EP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AE=EP，

∴四邊形ADPE是菱形.