Question

張老師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．

小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

小俊的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．

【變式探究】如圖3，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD﹣PE=CF；

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

【結論運用】如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【遷移拓展】圖5是一個航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．

Answer 1

       解：【問題情境】證明：（方法1）連接AP，如圖②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，

∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．

∵AB=AC，

∴CF=PD+PE．

（方法2）過點P作PG⊥CF，垂足為G，如圖②．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°．

∴四邊形PDFG是矩形．

∴DP=FG，∠DPG=90°．

∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，

∴∠CEP=90°．

∴∠PGC=∠CEP．

∵∠BDP=∠DPG=90°．

∴PG∥AB．

∴∠GPC=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠GPC=∠ECP．

在△PGC和△CEP中，

∴△PGC≌△CEP．

∴CG=PE．

∴CF=CG+FG

=PE+PD．

【變式探究】

證明：（方法1）連接AP，如圖③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S_△ABC=S_△ABP﹣S_△ACP，

∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE．

∵AB=AC，

∴CF=PD﹣PE．

（方法2）過點C作CG⊥DP，垂足為G，如圖③．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，

∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．

∴四邊形CFDG是矩形．

∴CF=GD，∠DGC=90°．

∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，

∴∠CEP=90°．

∴∠CGP=∠CEP．

∵CG⊥DP，AB⊥PD，

∴∠CGP=∠BDP=90°．

∴CG∥AB．

∴∠GCP=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∵∠ACB=∠PCE，

∴∠GCP=∠ECP．

在△CGP和△CEP中，

∴△CGP≌△CEP．

∴PG=PE．

∴CF=DG=DP﹣PG

=DP﹣PE．

【結論運用】過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折疊可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．

∴DF=5．

∵∠C=90°，

∴DC=

=

=4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，

∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．

∴四邊形EQCD是矩形．

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠EFB．

∴BE=BF．

由問題情境中的結論可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=4．

∴PG+PH的值為4．

【遷移拓展】延長AD、BC交于點F，作BH⊥AF，垂足為H，如圖⑤．

∵AD•CE=DE•BC，

∴=．

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE=∠BCE=90°．

∴△ADE∽△BCE．

∴∠A=∠CBE．

∴FA=FB．

由問題情境中的結論可得：ED+EC=BH．

設DH=xdm，

則AH=AD+DH=（3+x）dm．

∵BH⊥AF，

∴∠BHA=90°．

∴BH²=BD²﹣DH²=AB²﹣AH²．

∵AB=2，AD=3，BD=，

∴（）²﹣x²=（2）²﹣（3+x）²．

解得：x=1．

∴BH²=BD²﹣DH²

=37﹣1=36．

∴BH=6．

∴ED+EC=6．

∵∠ADE=∠BCE=90°，

且M、N分別為AE、BE的中點，

∴DM=EM=AE，CN=EN=BE．

∴△DEM與△CEN的周長之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

=6+2．

∴△DEM與△CEN的周長之和為（6+2）dm．