Question

（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點P為上一動點，求證：PA=PB+PC．
下面給出一種證明方法，你可以按這一方法補全證明過程，也可以選擇另外的證明方法．
證明：在AP上截取AE=CP，連接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圓周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P為上一動點，求證：PA=PC+PB．
（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點P為上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，
連接CE．∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°；
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴．（4分）

（3）答：；
證明：在AP上截取AQ=PC，
連接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
又∵∠APB=30°，
∴
∴（7分）
分析：（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．
點評：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及正多邊形和圓的有關(guān)知識．要熟悉這些基本性質(zhì)才能靈活運用解決綜合性的習題．