Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線交x軸于A、B兩點在B的左邊，交y軸于C，直線經過B、C兩點．

求拋物線的解析式；

為直線BC下方的拋物線上一點，軸交BC于D點，過D作于E點設，求m的最大值及此時P點坐標；

探究是否存在第一象限的拋物線上一點M，以及y軸正半軸上一點N，使得，且若存在，求出M、N兩點坐標；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】； m的最大值為，此時點P的坐標為；存在滿足條件的M、N兩點，坐標分別為、

【解析】

利用直線經過B、C兩點，先求出點B、C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
根據表達式，設出D點坐標，用含a的代數式分別表達出線段PD、DE，轉化成m關于a的二次函數，再求m的最大值及P點坐標；
根據條件，且，利用三角形的全等去確定滿足條件的M、N點，再根據函數解析式去它們的坐標．

直線經過坐標軸上B、C兩點，

，

而B、C兩點在拋物線上，于是有

解得，

故拋物線的解析式為．

連接AD，并延長PD交x軸于H點如圖，設H點坐標為，則D點坐標為，P點坐標為，所以，

由，當時，解得或4，于是可知，且

，

由于

于是有

即：

得

即：當時，m的最大值為

此時可代入得

故m的最大值為，此時點P的坐標為

過N點分別作交CA延長線于E點，作于F點，如圖2

，

而在四邊形NECF中，,,,

又，且

≌,

平分

若設CM與X軸交點為G點，根據軸對稱，可知G點坐標為

由、兩點可得：

而點M是直線CM與拋物線的交點，于是有

解得，或，

由此可知點M的坐標為

設N點坐標為，根據

解得，所以N點坐標為

故存在滿足條件的M、N兩點，坐標分別為、