Question

【題目】如圖1，是的直徑，弦于G，過(guò)C點(diǎn)的切線與射線相交于點(diǎn)E，直線與交于點(diǎn)H，，.

（Ⅰ）求的半徑；

（Ⅱ）將射線繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得射線（如圖2），與交于點(diǎn)M，與及切線分別相交于點(diǎn)N，F，當(dāng)時(shí)，求切線的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意連接，結(jié)合圓的切線定理和等邊三角形性質(zhì)以及平行線性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系進(jìn)行分析求解；

（Ⅱ）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)F作.交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，并設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程求解進(jìn)而得出切線的長(zhǎng).

解：（Ⅰ）連接，

∵為的切線，

∴

∴

∵，

∴，

又∵

∴

∴為等邊三角形

∴

∴

∵，

∴

由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系可知：

∴

∴

∴

在中，，，

∴

∴

即的半徑為2.

（Ⅱ）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作.交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∴，

∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

又∵，

∴，

解得，

∴.