某課題小組對課本的習(xí)題進(jìn)行了如下探索，請逐步思考并解答：

(1)(人教版教材習(xí)題24.4的第2題)如下圖，兩個大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶，兩個傳動輪中心的距離是10 m，求這條傳送帶的長________．

(2)改變圖形的數(shù)量；

如下圖、將傳動輪增加到3個，每個傳動輪的直徑是3 m，每兩個傳動輪中心的距離是10 m，求這條傳送帶的長________．

(3)改變動態(tài)關(guān)系，將靜態(tài)問題升華為動態(tài)問題：

如下圖，一個半徑為1 cm的⊙P沿邊長為2πcm的等邊三角形△ABC的外沿作無滑動滾動一周，求圓心P經(jīng)過的路徑長？⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？

(4)拓展與應(yīng)用

如下圖，一個半徑為1 cm的⊙P沿半徑為3 cm的⊙O外沿作無滑動滾動一周，則⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？

如圖(1)，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上．

(1)證明：B、C、E三點(diǎn)共線；

(2)若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN＝OM；

(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)后，記為△D₁CE₁(圖2)，若M₁是線段BE₁的中點(diǎn)，N₁是線段AD₁的中點(diǎn)，M₁N₁＝OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，1)，且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y＝1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當(dāng)0＜a＜1時，求證：S₁－S₂為常數(shù)，并求出該常數(shù)．

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，點(diǎn)A(10，0)和點(diǎn)B(2，2)，在線段OA上，點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，運(yùn)動過程中保持AQ＝2OP，當(dāng)P、Q重合時同時停止運(yùn)動，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)M，延長QM到點(diǎn)D，使MD＝MQ，以QD為對角線作正方形QCDE(正方形QCDE歲點(diǎn)Q運(yùn)動)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)(m，0)求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)N，延長PN到點(diǎn)G，使NG＝PN，以PG為對角線作正方形PFGH(正方形PFGH隨點(diǎn)P運(yùn)動)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)(2，0)時，如圖2，正方形PFGH的邊GP和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．

①則此時兩個正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？

②若點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動，還存在兩個正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請直接寫出每種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)，不必說明理由．

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O(0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°)連接A、B，A與B相交于點(diǎn)M．

(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想A與B的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC＝BD，請猜想此時A與B的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時(1)A與B的數(shù)量關(guān)系是否成立？∠AMB與α的大小關(guān)系是否成立？不必證明，直接寫出結(jié)論．

探究問題：

(1)方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．

∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°．

即∠GAF＝∠________．

又AG＝AE，AF＝AF

∴△GAF≌________．

∴________＝EF，故DE＋BF＝EF．

(2)方法遷移：

如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF＝∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE＋BF＝EF．請直接寫出你的猜想(不必說明理由)．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動點(diǎn)，連接OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF．

(1)當(dāng)∠AOB＝30°時，求弧AB的長度；

(2)當(dāng)DE＝8時，求線段EF的長；

(3)在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＜0)過矩形頂點(diǎn)B、C．

(1)當(dāng)n＝1時，如果a＝－1，試求b的值；

(2)當(dāng)n＝2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；

(3)將矩形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點(diǎn)O．

①試求當(dāng)n＝3時a的值；

②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式．

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線l₁過點(diǎn)A(1，0)且與y軸平行，直線l₂過點(diǎn)B(0，2)且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線l₂上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象過點(diǎn)E與直線l₁相交于點(diǎn)F．

(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；

(2)連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，一次函數(shù)y＝x＋3的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．直線l₂過點(diǎn)C(a，0)且與直線l1垂直，其中a＞0．點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，速度為每秒4個單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動，速度為每秒5個單位．

(1)寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動了多少秒時，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．