拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＜0)交x軸于點A(－1，0)、B(3，0)，交y軸于點C，頂點為D，以BD為直徑的⊙M恰好過點C．

(1)求頂點D的坐標(用a的代數(shù)式表示)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線上是否存在點P使△PBD為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

如圖，已知△ABC中，∠＝90°，∠B＝60°，AC＝4，等邊△DEF的一邊在直角邊AC上移動，當(dāng)點E與點c重合時，點D恰好落在AB邊上，

(1)求等邊△DEF的邊長；

(2)請你探索，在移動過程中，線段CE與圖中哪條線段始終保持相等，并說明理由；

(3)若設(shè)線段CE為x，在移動過程中，等邊△BEF與Rt△ABC兩圖形重疊部分的面積為y．請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，則不難證明S₁＝S₂＋S₃．

(1)如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之間有什么關(guān)系？(不必證明)

(2)如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系并加以證明；

(3)若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，為使S₁、S₂、S₃之間仍具有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你的結(jié)論；

(4)類比(1)、(2)、(3)的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論．

函數(shù)y＝－的圖象分別交x軸，y軸于A，C兩點，

(1)求出A、C兩點的坐標．

(2)在x軸上找出點B，使ΔACB∽ΔAOC，若拋物線經(jīng)過A、B、C三點，求出拋物線的解析式．

(3)在(2)的條件下，設(shè)動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，以相同的速度沿AC、BA向C、A運動，連結(jié)PQ，設(shè)AP＝m，是否存在m值，使以A、P、Q為頂點的三角形與ΔABC相似，若存在，求出所有的m值；若不存在，請說明理由．

初三(幾何)課本中有這樣一道習(xí)題，若⊙O₁與⊙O₂外切于點A，BC是兩圓的一條外公切線，B、C為切點，則AB⊥AC

(1)若⊙O₁和⊙O₂外離，BC為兩圓的外公切線，B，C為切點，連心線O₁O₂分別交⊙O₁，⊙O₂于M，N，設(shè)BM與CN的延長線交于A，試問AB與AC是否垂直？證明你的結(jié)論．

(2)若⊙O₁與⊙O₂相交，AB與AC垂直嗎？

已知拋物線y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n為常數(shù))．

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當(dāng)BC＝1時，求矩形ABCD的周長；

②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以O(shè)E為直徑的⊙O’交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于F

(1)求OA、OC的長；

(2)求證：DF為⊙O’的切線

(3)小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙O’外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由

在如下圖所示的直角坐標系中，已知直角梯形OACD的邊長OA＝8、OD＝、CD＝2、AC＝，點B的橫坐標為5，直線a∥b，且直線a的解析式為y＝x．現(xiàn)使直角梯形OACD沿著x軸以每秒1個單位的速度向右平移．設(shè)在平移中t秒時直角梯形夾在直線a，b之間的部分面積為S

(1)當(dāng)0＜t＜13時，求S與t的函數(shù)解析式；

(2)在0＜t＜13的范圍內(nèi)，S是否有最大值？如果有最大值，請求出最大值，否則請說明理由．

某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要的結(jié)論：一是發(fā)現(xiàn)拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，當(dāng)實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時，若把拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y＝ax²＋2x＋3上．

(1)請你協(xié)助探求實數(shù)a變化時，拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點所在直線的解析式；

(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；

(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想成立嗎？若能成立，請說明理由．