劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；圖②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸________．

(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？

問題②：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？

問題③：在△DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，

求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程．

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B兩點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N．設(shè)AP＝x．

(1)在△ABC中，AB＝________；

(2)當(dāng)x＝________時(shí)，矩形PMCN的周長(zhǎng)是14；

(3)是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等？請(qǐng)說出你的判斷，并加以說明．

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)頂點(diǎn)為C(1，1)且過原點(diǎn)O.過拋物線上一點(diǎn)P(x，y)向直線y＝作垂線，垂足為M，連FM(如圖)．

(1)求字母a，b，c的值；

(2)在直線x＝1上有一點(diǎn)F(1，)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí)△PFM為正三角形；

(3)對(duì)拋物線上任意一點(diǎn)P，是否總存在一點(diǎn)N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在請(qǐng)說明理由．

如圖，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD＝2，AB＝3；拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E(4，0)

(1)當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？

(2)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖所示)．

①當(dāng)t＝時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；

②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；若無可能，請(qǐng)說明理由．

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng)BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．

(Ⅰ)試比較EO、EC的大小，并說明理由；

(Ⅱ)令，請(qǐng)問m是否為定值？若是，請(qǐng)求出m的值；若不是，請(qǐng)說明理由；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點(diǎn)，且QF＝，拋物線y＝mx²＋bx＋c經(jīng)過C、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)求出此拋物線的解析式；

(Ⅳ)在(Ⅲ)的條件下，若拋物線y＝mx²＋bx＋c與線段AB交于點(diǎn)P，試問在直線BC上是否存在點(diǎn)K，使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似？若存在，求直線KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，∠ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，連結(jié)AD，作BE⊥AD，垂足為E，連結(jié)CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交BD于F．

(1)求證：BF＝FD；

(2)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形，如不能，請(qǐng)說明理由，如能，求出此時(shí)∠A的度數(shù)．

已知二次函數(shù)y＝x²＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1，0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)．

(1)填空：b＝________，c＝________；

(2)如圖，點(diǎn)Q從O出發(fā)沿x軸正方向以每秒4個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從B出發(fā)沿線段BC方向以每秒5個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，過點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H．

①求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示)，并寫出t的取值范圍；

②當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y＝x²＋4x＋m(m為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)(0，4)．

(1)求m的值；

(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個(gè)條件：它的對(duì)稱軸(設(shè)為直線l₂)與平移前的拋物線的對(duì)稱軸(設(shè)為l₁)關(guān)于y軸對(duì)稱；它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值為－8．

①試求平移后的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

②試問在平移后的拋物線上是否存在著點(diǎn)P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線l₂被⊙P所截得的弦AB的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，已知二次函數(shù)y＝ax²＋2x＋3的圖像與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(點(diǎn)B在X軸的正半軸上)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，直線DC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋3，又tan∠OBC＝1，

(1)求a、k的值；

(2)探究：在該二次函數(shù)的圖像上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合)，使得ΔPBC是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)你說明理由．

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA、OC分別為12 cm、6 cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a＋c＝0．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．

①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．