A. 149° B. 149.5° C. 150° D. 150.5°

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM= ∠ABC，點D為直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F.

（1）①當(dāng)點D在線段BC上時，如圖1所示，求∠EDC的度數(shù)

②探究線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)點D運動到CB延長線上時，請你畫出圖形，并證明此時DF與EC的數(shù)量關(guān)系.

【題目】如圖，在中，，，，，將沿直線向右平移2個單位得到，連接，則下列結(jié)論：①，；②；③四邊形的周長是16；④S四邊形ABEO=S四邊形CFDO其中結(jié)論正確的個數(shù)有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

如圖，拋物線y=與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)；

（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．

問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．

探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

∴．（依據(jù)1）

∵BE=AB，∴．∴EM=DM．

即AM是△ADE的DE邊上的中線，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依據(jù)2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；

（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；

探索發(fā)現(xiàn)：

（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．

（1）求購進A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？

（2）若該商店決定購進這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于750元，但不超過764元，那么該商店共有幾種進貨方案？

（3）已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利a元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利（5﹣a）元，試問在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？（商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價）

在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì)，常�？梢哉业浇鉀Q問題的辦消去．著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子：請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個問題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點Z'，并在AB上取一點A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過點A作AZ∥A'Z'，交BD于點Z．第四步，過點Z作ZY∥AC，交BC于點Y，再過點Y作YX∥ZA，交AC于點X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì)，常�？梢哉业浇鉀Q問題的辦消去．著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子：請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個問題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點Z'，并在AB上取一點A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過點A作AZ∥A'Z'，交BD于點Z．第四步，過點Z作ZY∥AC，交BC于點Y，再過點Y作YX∥ZA，交AC于點X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

任務(wù)：（1）請根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程，判斷四邊形AXYZ的形狀，并加以證明；

（2）請再仔細(xì)閱讀上面的操作步驟，在（1）的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過程；

（3）上述解決問題的過程中，通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY，從而確定了點Z，Y的位置，這里運用了下面一種圖形的變化是　 　．

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．位似

(2)若三角形的面積記為S，例如：△ABC的面積記為S△ABC．如圖②，已知S△ABC＝1．△ABC的中線AD、CE相交于點O，求四邊形BDOE的面積．

小華利用(1)的結(jié)論，解決了上述問題，解法如下：

連接BO，設(shè)S△BEO＝x，S△BDO＝y，由(1)結(jié)論可得：S△BCE＝S△BAD＝S△ABC＝，S△BCO＝2S△BDO＝2y，S△BAO＝2S△BEO＝2x．則有即所以x＋y＝．即四邊形BDOE面積為．

請仿照上面的方法，解決下列問題：

①如圖③，已知S△ABC＝1．D、E是BC邊上的三等分點，F、G是AB邊上的三等分點，AD、CF交于點O，求四邊形BDOF的面積．

②如圖④，已知S△ABC＝1．D、E、F是BC邊上的四等分點，G、H、I是AB邊上的四等分點，AD、CG交于點O，則四邊形BDOG的面積為 ．

【題目】2018年1月20日，山西迎來了“復(fù)興號”列車，與“和諧號”相比，“復(fù)興號”列車時速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大約500千米，“復(fù)興號”G92次列車平均每小時比某列“和諧號”列車多行駛40千米，其行駛時間是該列“和諧號”列車行駛時間的（兩列車中途停留時間均除外）．經(jīng)查詢，“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西，中途只有石家莊一站，停留10分鐘．求乘坐“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西需要多長時間．