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【題目】如圖,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點F,則∠DFB=( 。
A. 149° B. 149.5° C. 150° D. 150.5°
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【題目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM= ∠ABC,點D為直線BC上的動點,過點D作直線CM的垂線,垂足為E,交直線AC于F.
(1)①當(dāng)點D在線段BC上時,如圖1所示,求∠EDC的度數(shù)
②探究線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)當(dāng)點D運動到CB延長線上時,請你畫出圖形,并證明此時DF與EC的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,在中,,,,,將沿直線向右平移2個單位得到,連接,則下列結(jié)論:①,;②;③四邊形的周長是16;④S四邊形ABEO=S四邊形CFDO其中結(jié)論正確的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線y=與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,連接AC,BC.點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點,點P的橫坐標(biāo)為m,過點P作PM⊥x軸,垂足為點M,PM交BC于點Q,過點P作PE∥AC交x軸于點E,交BC于點F.
(1)求A,B,C三點的坐標(biāo);
(2)試探究在點P運動的過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請直接寫出此時點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長,并求出m為何值時QF有最大值.
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【題目】綜合與實踐
問題情境:在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:如圖1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延長線上一點,且BE=AB,連接DE,交BC于點M,以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG,連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系.
探究展示:勤奮小組發(fā)現(xiàn),AM垂直平分DE,并展示了如下的證明方法:
證明:∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴.(依據(jù)1)
∵BE=AB,∴.∴EM=DM.
即AM是△ADE的DE邊上的中線,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依據(jù)2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?
②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上,請直接回答,不必證明;
(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上,請你給出證明;
探索發(fā)現(xiàn):
(3)如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點C,點B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上,請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.
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【題目】宜賓某商店決定購進A.B兩種紀(jì)念品.購進A種紀(jì)念品7件,B種紀(jì)念品2件和購進A種紀(jì)念品5件,B種紀(jì)念品6件均需80元.
(1)求購進A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購進這兩種紀(jì)念品共100件,考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn),用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于750元,但不超過764元,那么該商店共有幾種進貨方案?
(3)已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利a元,出售一件B種紀(jì)念品可獲利(5﹣a)元,試問在(2)的條件下,商家采用哪種方案可獲利最多?(商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價)
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【題目】請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù):
在數(shù)學(xué)中,利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì),常?梢哉业浇鉀Q問題的辦消去.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子:請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y,使得AX=BY=XY.(如圖)解決這個問題的操作步驟如下:
第一步,在CA上作出一點D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點Y',作Y'Z∥CA,交BD于點Z',并在AB上取一點A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點A作AZ∥A'Z',交BD于點Z.第四步,過點Z作ZY∥AC,交BC于點Y,再過點Y作YX∥ZA,交AC于點X.
則有AX=BY=XY.
下面是該結(jié)論的部分證明:
證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
在數(shù)學(xué)中,利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì),常?梢哉业浇鉀Q問題的辦消去.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子:請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y,使得AX=BY=XY.(如圖)解決這個問題的操作步驟如下:
第一步,在CA上作出一點D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點Y',作Y'Z∥CA,交BD于點Z',并在AB上取一點A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點A作AZ∥A'Z',交BD于點Z.第四步,過點Z作ZY∥AC,交BC于點Y,再過點Y作YX∥ZA,交AC于點X.
則有AX=BY=XY.
下面是該結(jié)論的部分證明:
證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
任務(wù):(1)請根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程,判斷四邊形AXYZ的形狀,并加以證明;
(2)請再仔細(xì)閱讀上面的操作步驟,在(1)的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過程;
(3)上述解決問題的過程中,通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY,從而確定了點Z,Y的位置,這里運用了下面一種圖形的變化是 .
A.平移 B.旋轉(zhuǎn) C.軸對稱 D.位似
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【題目】(1)如圖①,AD是△ABC的中線.△ABD與△ACD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?
(2)若三角形的面積記為S,例如:△ABC的面積記為S△ABC.如圖②,已知S△ABC=1.△ABC的中線AD、CE相交于點O,求四邊形BDOE的面積.
小華利用(1)的結(jié)論,解決了上述問題,解法如下:
連接BO,設(shè)S△BEO=x,S△BDO=y,由(1)結(jié)論可得:S△BCE=S△BAD=S△ABC=,S△BCO=2S△BDO=2y,S△BAO=2S△BEO=2x.則有即所以x+y=.即四邊形BDOE面積為.
請仿照上面的方法,解決下列問題:
①如圖③,已知S△ABC=1.D、E是BC邊上的三等分點,F、G是AB邊上的三等分點,AD、CF交于點O,求四邊形BDOF的面積.
②如圖④,已知S△ABC=1.D、E、F是BC邊上的四等分點,G、H、I是AB邊上的四等分點,AD、CG交于點O,則四邊形BDOG的面積為 .
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【題目】2018年1月20日,山西迎來了“復(fù)興號”列車,與“和諧號”相比,“復(fù)興號”列車時速更快,安全性更好.已知“太原南﹣北京西”全程大約500千米,“復(fù)興號”G92次列車平均每小時比某列“和諧號”列車多行駛40千米,其行駛時間是該列“和諧號”列車行駛時間的(兩列車中途停留時間均除外).經(jīng)查詢,“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西,中途只有石家莊一站,停留10分鐘.求乘坐“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西需要多長時間.
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