抽取的學生最喜歡體育活動的條形統(tǒng)計圖

抽取的學生最喜歡體育活動的扇形統(tǒng)計圖

請結合以上信息解答下列問題：

（1）在這次調(diào)查中一共抽查了_____學生，扇形統(tǒng)計圖中“乒乓球”所對應的圓心角為_____度，并請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）己知該校共有1200名學生，請你估計該校最喜愛跑步的學生人數(shù)；

（3）若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四個活動項目任選兩項設立課外興趣小組，請用列表法或畫樹狀圖的方法求恰好選中“排球、乒乓球”這兩項活動的概率．

【題目】如圖，的半徑為2，圓心在坐標原點，正方形的邊長為2，點、在第二象限，點、在上，且點的坐標為（0，2）．現(xiàn)將正方形繞點按逆時針方向旋轉150°，點運動到了上點處，點、分別運動到了點、處，即得到正方形（點與重合）；再將正方形繞點按逆時針方向旋轉150°，點運動到了上點處，點、分別運動到了點、處，即得到正方形（點與重合），……，按上述方法旋轉2020次后，點的坐標為（ ）

A.（0，2）B.C.D.

例如：如圖1，點P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P為△ABC的自相似點．

請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標系中，點M是曲線C：上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點．

（1） 如圖2，點P是OM上一點，∠ONP=∠M, 試說明點P是△MON的自相似點； 當點M的坐標是，點N的坐標是時，求點P 的坐標；

（2） 如圖3，當點M的坐標是，點N的坐標是時，求△MON的自相似點的坐標；

（3） 是否存在點M和點N,使△MON無自相似點,？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

特例驗證：

(1)①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為AD=　 　BC；

②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為　 　．

猜想論證：

(2)在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明．

拓展應用

(3)如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=6，在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC與△PAB之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存在，請畫出點P的位置(保留作圖痕跡，不需要說明)并直接寫出△PDC的邊DC上的中線PQ的長度；若不存在，說明理由．

【題目】已知拋物線(m，n 為常數(shù))．

（1）若拋物線的的對稱軸為直線 x=1,且經(jīng)過點（0，-1），求 m，n 的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求 n 的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實數(shù) a，b( a＜b)，當 a≤x≤b 時，恰好有，請直接寫出 a，b 的值．

如果函數(shù) y＝f（x）滿足：對于自變量 x 的取值范圍內(nèi)的任意 x1，x2，

（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），則稱 f（x）是增函數(shù)；

（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），則稱 f（x）是減函數(shù)．

例題：證明函數(shù)f（x）＝ （x＞0）是減函數(shù)．

證明：設 0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數(shù) f（x）= （x＞0）是減函數(shù)．

根據(jù)以上材料，解答下面的問題：

已知函數(shù)．

f（﹣1）＝ +（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝ +（﹣4）＝．

（1）計算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；

（2）猜想：函數(shù)是 函數(shù)（填“增”或“減”）；

（3）請仿照例題證明你的猜想．

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是的中點，E為OD延長線上一點，且∠CAE=2∠C，AC與BD交于點H，與OE交于點F．

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若DH=9，tanC=，求直徑AB的長．

（1）求證：四邊形OCED為矩形；

（2）在BC上截取CF＝CO，連接OF，若AC＝16，BD＝12，求四邊形OFCD的面積．

【題目】如圖，反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象相交于(1,),兩點，點在第四象限，∥ 軸，.

(1)求的值及點的坐標；

(2)求的值.

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心，則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結論）：

延長AI 交⊙O 于點 D，過點 I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 與 AB 相切于點 F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任務：（1）觀察發(fā)現(xiàn)： IM R d ， IN （用含R，d 的代數(shù)式表示）；

（2）請判斷 BD 和 ID 的數(shù)量關系，并說明理由.（請利用圖 1 證明）

（3）應用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內(nèi)切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為 　　cm．