Question

15．天津振興工廠為了給正立方體工件表面均勻地涂上密度為ρ₀的油，需要用豎直向下的力F把漂浮在油面上的工件緩緩地壓入油內，如圖1所示，盛油的直壁容器底面積為S₀，工件下表面與油面的距離為h，壓力F與h的大小關系如圖2所示．請你根據提供的信息解答：

（1）工件的重力；
（2）推導出工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，壓力F隨h變化的關系式；
（3）工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，重力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據圖中信息得出工件的棱長，求出其體積，再由圖得出工件靜止時下表面與油面的距離，求出工件排開水的體積，然后利用阿基米德原理可求出浮力．根據浮力與重力是一對平衡力得出工件的重力；
（2）工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，受到三個力的作用，壓力、浮力與重力，由此推導出壓力F隨h變化的關系式；
（3）根據W=Fs=Gh可求出重力所做的功．

解答 解：（1）工件下表面與油面的距離為h₂時壓力不變，可知工件的棱長為h₂，
工件漂浮在油面上時，工件浸入的深度為h₁，
所以V_排=h₂²h₁，
工件的重力：G=F_浮=ρ₀gV_排=ρ₀gh₂²h₁；
（2）根據阿基米德原理，工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，
壓力F=ρ₀gV_排-G=ρ₀gh₂²h-ρ₀gh₂²h₁=ρ₀gh₂²（h-h₁）；
（3）工件從漂浮到浸沒，排開油的體積增大量：△V_排=S_工（h₂-h₁）=h₂²（h₂-h₁），
則油面上升的高度：△h_上升=$\frac{△{V}_{排}}{{S}_{0}}$=$\frac{{h}_{2}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{{S}_{0}}$，
因為油面上升高度與工件下降高度之和=浸入深度的增加量，
所以工件下降的高度：h_下降=（h₂-h₁）-△h_上升=（h₂-h₁）-$\frac{{h}_{2}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{{S}_{0}}$=$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$，
工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，重力所做的功為：
W=Fs=Gh_下降=ρ₀gh₂²h₁$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$
答：（1）工件的重力為ρ₀gh₂²h₁；
（2）壓力F隨h變化的關系式為ρ₀gh₂²（h-h₁）；
（3）工件從漂浮狀態(tài)到上表面與油面相平的過程中，重力所做的功為ρ₀gh₂²h₁$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$．

點評 本題考查了工件重力和浮力的計算，關鍵是利用數學知識得出力F與h的大小關系式，對學生的讀圖能力要求較高．