Question

在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n+1²=p（n≥1，n∈N^*，p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
①若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_n²}是等差數(shù)列；  
②{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
③若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列．
其中真命題的序號是（　　）

• A、②
• B、①②
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)“等方差數(shù)列”的定義，數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n+1²=p（n≥1，n∈N^*，p為常數(shù)），則{a_n}稱為“等方差數(shù)列”，我們逐一判斷①②③中的三個數(shù)列是否滿足等方差數(shù)列的定義，可得答案．

解答： 解：①∵{a_n}是等方差數(shù)列，
∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)）
∴{a_n²}是等差數(shù)列，故①正確；
②數(shù)列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；故②正確；
③數(shù)列{a_n}中的項列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數(shù)列{a_kn}中的項列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列；故③正確；
故選：D．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義及其應(yīng)用，解題時要注意掌握數(shù)列的概念，屬基礎(chǔ)題．