Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作 AB的垂線，交AC的延長線于點 E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H，求證：
（1）C，D，F(xiàn)，E四點共圓；
（2）GH²=GE•GF．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：立體幾何

分析：（1）連接BC，由已知得∠ACB=90°，∠AGE=90°，∠FDC+∠CEF=180°，由此能證明C，D，F(xiàn)，E四點共圓．
（2）由切割線定理得GH²=GC•GD，由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，得△GCE∽△GFD，由此能證明CH²=GE•GF．

解答： 選修4-1：幾何證明選講
證明：（1）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．…1分
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．
又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．…2分
又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG．…3分
∴∠FDC+∠CEF=180°．…4分
∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓．…5分
（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，
∴GH²=GC•GD．…6分
由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．…7分
∴

GC

GE

=

GF

GD

，即GC•GD=GE•GF，…8分
∴CH²=GE•GF．…10分．

點評：本題考查四點共圓的證明，考查等式相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．