Question

如下圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)為以為直徑的圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由已知條件平面得到，再由已知條件得到，從而得到平面，進(jìn)而得到，利用等腰三角形三線合一得到，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，結(jié)合題中已知條件以及直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角 的余弦值.

（1）證明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中點(diǎn)，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）如下圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于，

 

可設(shè)，則，，，，，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，即，

可得，

由（1）可知為面的法向量，

易求

，

二面角的余弦值是.

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直；2.空間向量法求二面角