已知f（x）=
3
sinωx-2sin2
ωx
2
（ω＞0）的最小正周期為3π．
（Ⅰ）當x∈[
π
2
，
3π
4
]時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．
分析：先利用二倍角公式的變形形式及輔助角公式把函數(shù)化簡為y=2sin（ωx+
π
6
）-1，根據(jù)周期公式可求ω，進而求f（x）
（I）由x的范圍求出
2
3
x+
π
6
的范圍，結合正弦函數(shù)的圖象及性質可求
（II）由f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)-1及f（C）=1可得，sin(
2C
3
+
π
6
)=1，結合已知C的范圍可求C及 A+B，代入2sin2B=cosB+cos（A-C），整理可得關于 sinA的方程，解方程可得
解答：解：f(x)=
3
sin(?x)-2•
1-cos(?x)
2
=
3
sin(?x)+cos(?x)-1=2sin(?x+
π
6
)-1
依題意函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，即
2π
?
=3π，解得?=
2
3
，
所以f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1
（Ⅰ）由
π
2
≤x≤
3π
4
得
π
2
≤
2
3
x+
π
6
≤
2π
3
，
所以，當sin(
2
3
x+
π
6
)=
3
2
時，f(x)最小值=2×
3
2
-1=
3
-1
（Ⅱ）由f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)-1及f（C）=1，得sin(
2C
3
+
π
6
)=1
而
π
2
≤
2
3
C+
π
6
≤
2π
3
，所以
2
3
C+
π
6
=
π
2
，解得C=
π
2

在Rt△ABC中，∵ A+B=
π
2
，2sin2B=cosB+cos（A-C）2cos2A-sinA-sinA=0，
∴sin2A+sinA-1=0，解得sinA=
-1±
5
2
∵0＜sinA＜1，∴ sinA=
5
-1
2
點評：以三角形為載體，綜合考查了二倍角公式的變形形式，輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應用，考查了三角函數(shù)的性質（周期、單調區(qū)間、最值取得的條件）時常把ωx+φ作為一個整體．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知f（x）=3sin（
π
2
x+
π
3
），則下列不等式中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列結論中正確結論的序號是
（2）（3）
（2）（3）
．
（1）函數(shù)y=sinx在第一象限單調遞增；
（2）函數(shù)f（x）=sin（
2x
3
+
7π
2
）是偶函數(shù)；
（3）已知f（x）=3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π），且對任意實數(shù)t都有f（t+
π
3
）=f（
π
3
-t），設g（x）=3cos（ωx+φ）-1，則g（
π
3
）=-1
（4）設α，β是銳角三角形兩個內角，則sinα＜cosβ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=3sin（2x-
π6
），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α-x）對一切實數(shù)x恒成立，則α=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=3sin（2x+
π
3
）．
（1）用“五點法”畫函數(shù)y=3sin（2x+
π
3
），x∈[-
π
6
，
5π
6
]的圖象．（只需列表即可，不用描點連線）
（2）求函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
）在x∈[-π，π]的單調遞減區(qū)間．

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