Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{2 an-1}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）數(shù)列{2^an-1}的通項(xiàng)為2^an-1=2²ⁿ-1=4ⁿ-1，由此能求出數(shù)列{2 an-1}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知a₃²=a₁a₉，
即 （2+2 d）²=2×（2+8d）…（3分）
得：d²-2d=0，
解得d=2或d=0（舍）∴a_n=2n．…（5分）
（Ⅱ）數(shù)列{2^an-1}的通項(xiàng)為2^an-1=2²ⁿ-1=4ⁿ-1，…（7分）
∴S_n=4¹+4²+4³+…+4ⁿ-n=

4

3

×（4ⁿ-1）-n． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．