Question

已知數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁，b₃為方程x²-5x+4=0的兩根．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_n=log₂b_n+3，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）若c_n=a_n•b_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）解方程x²-5x+4=0，得b₁=1，b₃=4，由此能求出bn=2n-1．
（Ⅱ）由a_n=log₂b_n+3n-1+3=n+2，能證明數(shù)列{a_n}是首項為3，公比為1的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由c_n=a_n•b_n=（n+2）•2^n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）解：∵b₁，b₃為方程x²-5x+4=0的兩根，
數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，
解方程x²-5x+4=0，得x₁=1，x₂=4，
∴b₁=1，b₃=4，∴b1q2=q2=4，解得q=2或q=-2（舍）
∴bn=2n-1．
（Ⅱ）證明：∵a_n=log₂b_n+3
=log22n-1+3
=n-1+3=n+2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為3，公比為1的等差數(shù)列．
（Ⅲ）解：c_n=a_n•b_n=（n+2）•2^n-1，
∴Tn=3•20+4•2+5•22+…+(n+2)•2n-1，①
2T_n=3•2+4•2²+5•2³+…+（n+2）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=3+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+2）•2ⁿ
=3+

2(2n-1-1)

2-1

-(n+2)•2n
=1-（n+1）•2ⁿ，
∴Tn=(n+1)•2n-1．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．