Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

2x-a+1

．
（1）求證：f（x）的圖象關(guān)于M（a，-1）對稱；
（2）若f（x）≥-2^x，在x≥a上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）證明點(diǎn)（x，y）關(guān)于（a，-1）的對稱點(diǎn)為（2a-x，-2-y），也在圖象上即可．
（2）化簡不等式f（x）≥-2^x為2^2x-a+2^x-2≥0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2^2x-a+2^x-2，f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等價(jià)于h（x）≥0，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）在[a，+∞）的最小值h（a），解不等式2•2^a-2≥0即可求出a的范圍．

解答： （1）證明：假設(shè)（x，y）為此函數(shù)的一點(diǎn)，那么此點(diǎn)關(guān)于（a，-1）的對稱點(diǎn)為（2a-x，-2-y），則
f（2a-x）=-

2

22a-x-a+1

=-2+

2

2x-a+1

=-2-y，
∴點(diǎn)（x，y）關(guān)于（a，-1）的對稱點(diǎn)為（2a-x，-2-y），也在圖象上，
∴f（x）的圖象關(guān)于M（a，-1）對稱；
（2）解：∵函數(shù)f（x）=-

2

2x-a+1

，
∴f（x）≥-2^x可化為-

2

2x-a+1

≥-2^x，
即2^2x-a+2^x-2≥0，
令h（x）=2^2x-a+2^x-2，
則h′（x）=2^2x-a•2ln2+2^x•ln2
=（2^2x-a•2+2^x）ln2，
∵ln2＞0，
∴h′（x）＞0，
∴函數(shù)h（x）=2^2x-a+2^x-2在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）=2^2x-a+2^x-2≥h（a）=2•2^a-2，
∵f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等價(jià)于，
h（a）=2•2^a-2≥0，
∴a≥0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查對稱問題，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．