A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
分析 在數(shù)列{an}中,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4(n≥2,且n∈N*),a2=4,$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4,可得a1=1.利用等比數(shù)列的通項公式可得an=4n-1.$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1.12an($\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$)=12×4n-1×(1+2+22+…+2n-1)=3×4n(2n-1).不等式12an($\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$)<2000,即f(n)=3×4n(2n-1)<2000.通過對n取值即可得出.
解答 解:∵在數(shù)列{an}中,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4(n≥2,且n∈N*),a2=4,
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4,可得a1=1.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項為1,公比為4,
∴an=4n-1.
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1.
12an($\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$)=12×4n-1×(1+2+22+…+2n-1)=12×4n-1×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=3×4n(2n-1).
不等式12an($\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$)<2000,即f(n)=3×4n(2n-1)<2000.
f(3)=3×43×7=1344<2000,f(4)=3×44×15=11520>2000.
因此使不等式12an($\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$)<2000成立的n的最大值為3.
故選:B.
點評 本題考查了等比數(shù)列的定義與通項公式求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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A. | $\frac{32}{3}$(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | B. | $\frac{32}{3}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) | C. | 16(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | D. | 16(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) |
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