Question

已知橢圓Г的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）點(diǎn)A，B分別為Г上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB；其中OA，OB稱為橢圓的一條半徑．
（1）求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

+

1

b2

；|OA|²+|OB|²的最小值為

4a2b2

a2+b2

；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，求證：|OH|=

ab

a2+b2

；S_△OAB的最小值是

a2b2

a2+b2

；
（3）將（1）（2）的結(jié)論推廣至雙曲線，結(jié)論是否依然成立，若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求出橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ²（b²cos²θ+a²sin²θ）=a²b²，設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式，以及基本不等式，即可得到；
（2）運(yùn)用直角三角形的面積公式，結(jié)合勾股定理和（1）的結(jié)論，即可得證；
（3）求出雙曲線的極坐標(biāo)方程，運(yùn)用（1）（2）的方法，即可得到類似的結(jié)論．

解答： （1）證明：以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ²（b²cos²θ+a²sin²θ）=a²b²，
設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），
則

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

ρ12

+

1

ρ22

=

b2cos2θ+a2sin2θ

a2b2

+

b2cos2(θ+ π 2 )+a2sin2(θ+ π 2 )

a2+b2

=

a2(sin2θ+cos2θ)+b2(cos2θ+sin2θ)

a2b2

=

a2+b2

a2b2

=

1

a2

+

1

b2

；
|OA|²+|OB|²=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

+

a2b2

b2sin2θ+a2cos2θ

=

1

a2+b2

[（b²cos²θ+a²sin²θ）+（b²sin²θ+a²cos²θ）]（

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

+

a2b2

b2sin2θ+a2cos2θ

）
=

a2b2

a2+b2

（2+

b2cos2θ+a2sin2θ

b2sin2θ+a2cos2θ

+

b2sin2θ+a2cos2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

）≥

4a2b2

a2+b2

，
即有|OA|²+|OB|²的最小值為

4a2b2

a2+b2

．
（2）證明：由三角形的面積公式，可得：|OH|=

|OA|•|OB|

|AB|

=

|OA|•|OB|

|OA|2+|OB|2

=

1 1 |OA|2 + 1 |OB|2

=

1 1 a2 + 1 b2

=

ab

a2+b2

，
S_△OAB=

1

2

|OH|•|AB|=

ab

2 a2+b2

•

|OA|2+|OB|2

≥

ab

2 a2+b2

•

2ab

a2+b2

=

a2b2

a2+b2

，
即有S_△OAB的最小值是

a2b2

a2+b2

；
（3）解：類似橢圓的做法，得到結(jié)論：已知雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），
點(diǎn)A，B分別為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，
則有①

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

-

1

b2

，|OA|²+|OB|²的最小值為

4a2b2

b2-a2

，
②過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，則|OH|=

ab

b2-a2

；S_△OAB的最小值是

a2b2

b2-a2

．
則將（1）（2）的結(jié)論推廣至雙曲線，結(jié)論不依然成立，
理由是雙曲線的極坐標(biāo)方程為ρ²（b²cos²θ-a²sin²θ）=a²b²，且b＞a，
運(yùn)用（1）、（2）的方法，即可得到上面的兩個(gè)結(jié)論．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查橢圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡及求值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．