Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=

1

2

a_n+

1

4

（-1）ⁿ-

1

4

，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

|a1|

+

1

|a2|

+

1

|a3|

+…+

1

|an|

＞2（

n+1

-1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意先求出a₁=-1，再由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系可推出a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ，從而求出a₂=2，從而推導(dǎo)可得a_n=a_n-2+2（-1）ⁿ，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意，|a_n|=n，從而可得

1

|an|

=

2

2 n

＞

2

n+1 + n

=2（

n+1

-

n

），從而得證．

解答： 解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

a₁+

1

4

（-1）-

1

4

，解得，a₁=-1；
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

a_n+

1

4

（-1）ⁿ-

1

4

-（

1

2

a_n-1+

1

4

（-1）^n-1-

1

4

）
=

1

2

a_n-

1

2

a_n-1+

1

2

（-1）ⁿ，
則a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ，
則a₂=-a₁+（-1）²=2；
∴a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ=-（-a_n-2+（-1）^n-1）+（-1）ⁿ=a_n-2+2（-1）ⁿ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a_n-2+2，則a_n=a₂ +（n-2）=n，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=a_n-2-2，則a_n=a₁ -（n-1）=-n，
∴a_n=

n，n為偶數(shù) -n，n為奇數(shù)

n∈N^*．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=1，n=2時(shí)也成立；
（2）證明：∵|a_n|=n，
∴

1

|an|

=

2

2 n

＞

2

n+1 + n

=2（

n+1

-

n

），
∴

1

|a1|

+

1

|a2|

+

1

|a3|

+…+

1

|an|

＞2（

2

-1）+2（

3

-

2

）+…+2（

n+1

-

n

）
=2（

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

）
=2（

n+1

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用到了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，同時(shí)應(yīng)用了放縮法證明不等式，屬于難題．