Question

14．過點M（1，1）作斜率為$-\frac{1}{2}$的直線與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，B，則直線AB的方程x+2y-3=0；若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由直線的點斜式方程：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：x+2y-3=0，由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$②，利用中點坐標公式及作差法，即可求得a與b的關系，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=b，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：由題意可知：直線的點斜式方程：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
整理得：x+2y-3=0，
解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$②，
∵M是線段AB的中點，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∵①②兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
即$\frac{2}{{a}^{2}}$+（-$\frac{1}{2}$）$\frac{2}{^{2}}$=0，整理得：a=$\sqrt{2}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
橢圓C的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：x+2y-3=0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查點差法的應用，直線的點斜式方程，考查計算能力，屬于中檔題．