14.過點M(1,1)作斜率為$-\frac{1}{2}$的直線與橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相交于A,B,則直線AB的方程x+2y-3=0;若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.

分析 由直線的點斜式方程:y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),整理得:x+2y-3=0,由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$①,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$②,利用中點坐標公式及作差法,即可求得a與b的關系,則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=b,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

解答 解:由題意可知:直線的點斜式方程:y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),
整理得:x+2y-3=0,
解:設A(x1,y1),B(x2,y2),則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$①,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$②,
∵M是線段AB的中點,
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1,
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∵①②兩式相減可得$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{^{2}}$=0,
即$\frac{2}{{a}^{2}}$+(-$\frac{1}{2}$)$\frac{2}{^{2}}$=0,整理得:a=$\sqrt{2}$b,
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
橢圓C的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案為:x+2y-3=0,$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查點差法的應用,直線的點斜式方程,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.已知$|{\overrightarrow a}$|=1,$|{\overrightarrow b}$|=2,$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$的夾角為120°,$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$,則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.如果輸入x=2,那么執(zhí)行右圖中算法的結果是( 。
A.輸出2B.輸出4
C.輸出8D.程序出錯,輸不出任何結果

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

2.若θ∈[${\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}}$],sin2θ=$\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$,則sinθ=( 。
A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$D.$\frac{3}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.甲、乙兩人約定在10:00---12:00會面商談事情,約定先到者應等另一個人30分鐘,即可離去,求兩人能會面的概率$\frac{7}{16}$(用最簡分數(shù)表示).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

19.已知棱長為1,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC,則它的表面積S=$\sqrt{3}$,體積V=$\frac{\sqrt{2}}{12}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.若n是7777-10除以19的余數(shù),則${({\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}})^n}$的展開式中的常數(shù)項為$\frac{168}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)$f(x)=\frac{a+blnx}{x+1}$在點(1,f(1))處的切線方程為x+y=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若對函數(shù)f(x)定義域內的任一個實數(shù)x,都有xf(x)<m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示,則( 。
A.0<a<1,-1<b<0B.0<a<1,0<b<1C.1<a,-1<b<0D.1<a,0<b<1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案