Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-2（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足a_n•b_n=2（a_n-1），記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使T_n＞2015的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由a_n•b_n=2（a_n-1），可得b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出，解出不等式即可．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2（n∈N⁺），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴an=2n．
（2）∵a_n•b_n=2（a_n-1），∴b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2+(

1

2

)n-1，
∵T_n＞2015，
∴2n-2+(

1

2

)n-1＞2015，
∴n≥1009，
因此使T_n＞2015的n的最小值是1009．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．