Question

下面的四個(gè)不等式：①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；②a（1-a）≤

1

4

；③

a

b

+

b

a

≥2；④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．其中一定成立的序號(hào)依次是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展開(kāi)可即可判斷出正誤；
②a（1-a）≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

，即可判斷出正誤；
③當(dāng)ab＜時(shí)，不成立；
④作差（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，即可判斷出．

解答： 解：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展開(kāi)可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)，正確；
②a（1-a）≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

2

時(shí)取等號(hào)，正確；
③

a

b

+

b

a

≥2，當(dāng)ab＜時(shí)，不成立，因此不正確；
④∵（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，∴（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²，正確．
綜上可得：一定成立的是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用、“作差法”比較數(shù)的大小，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．