Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁C上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)CF=2，求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱錐B₁-ADF體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明B₁F與兩線AD，DF垂直，利用線面垂直的判定定理得出B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，則Rt△CDF∽R(shí)t△BB₁D，可求DF，即可求三棱錐B₁-ADF體積．

解答： （1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．-------------（3分）
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=1，B₁C₁=CF=2，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，∴B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面ADF．-------------（6分）
（2）解：∵AD⊥面B₁DF，AD=2

2

，
又B1D=

10

，CD=1，-------------（8分）
∵FD⊥B₁D，∴Rt△CDF∽R(shí)t△BB₁D，
∴

DF

B1D

=

CD

BB1

．
∴DF=

1

3

×

10

=

10

3

-------------（10分）
∴VB1-ADF=

1

3

S△B1DF•AD=

1

3

×

1

2

×

10

3

×

10

×2

2

=

10 2

9

．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直，考查三棱錐B₁-ADF體積，屬于中檔題．