如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求PC與平面PAB所成角的余弦值．
考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）利用面面垂直的判定定理來(lái)證明．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接PF．∠DPF即為PD與平面PAB所成的角，由此能求出PC與平面PAB所成角的余弦值．
解答： （1）證明：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，BE?底面ABCD，
∴BE⊥PA，∵PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，
∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．…（6分）
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接PF．則AF=
3
2
，
由（1）知EB⊥平面PAB，則CF⊥平面PAB，
則∠DPF即為PD與平面PAB所成的角，…（8分）
∵PA=2，AF=
3
2
，又CF=BE=
3
2
，
∴PF=
5
2
，PC=
7
，…（10分）
∴cos∠CPF=
5
7
14
．
∴PC與平面PAB所成角的余弦值為
5
7
14
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1C上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)CF=2，求證：B1F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B1D，求三棱錐B1-ADF體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，AB是圓O的直徑，BC是圓O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD．
（Ⅰ）求證∠ADO=∠COB；
（Ⅱ）若OB=3，OC=5，求CD的長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
-x2+x+2
的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+c，其中a+b=0，a，b，c均為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合A={x|2＜（
1
2
）x＜4}，B={x|y=lg
x-a
3a-x
，a≠0，a∈R}．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求集合B；
（2）當(dāng)A∪B=B時(shí)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，P是圓O外的一點(diǎn)，PA為切線，A為切點(diǎn)，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，PC=6，PA=2
3
，則∠PCA=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB=
2
．
（Ⅰ）求證：平面AB1C⊥平面B1CB；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AB1C的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+5）=f（x）．當(dāng)-3＜x≤-1時(shí)，f（x）=x，當(dāng)-1＜x≤2時(shí)，f（x）=（x-1）2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案